АЛГЕБРА ЛИНЕЙНАЯ

— один из самых обширных и важных разделов современной алгебры, имеющий многочисленные применения во всех областях математики, во многих областях механики и физики, а также в кибернетике. Трудно точно очертить границы А. л., так как на протяжении своего длительного истор. развития она неоднократно расширялась и видоизменялась, включая в себя все новые и новые понятия в связи с запросами теории и практики. На современном этапе развития можно, несколько условно, считать, что А. л. - это та область алгебры, которая изучает свойства векторных пространств, включая некоторые обобщения, такие, как модули и их линейные отображения. В самостоятельный раздел А. л. выделилась на рубеже 19 и 20 веков, но большинство ее проблем и методов имеют многовековую историю развития в рамках алгебры, теории чисел, геометрии и анализа. Исследования по решению этих проблем и в настоящее время составляют основное содержание А. л.; к ним за последние десятилетия присоединились новые проблемы, исходящие в первую очередь из современной вычисл. математики и кибернетики.

Старейшей проблемой А. л. является задача нахождения решений систем линейных ур-ний и изучение свойств таких решений. Практические методы решений линейных ур-ний с одним неизвестным и простейших систем с двумя неизвестными были известны уже в глубокой древности — в Египте и Вавилоне. Они изучались и в средние века арабскими математиками. Это связано с тем, что необходимость решать практические задачи на вычисление площадей и объемов, распределение рабочей силы, в торговых сделках и т. д. приводила в простейших случаях к поиску решений систем линейных ур-ний. Но в общем виде вопрос о нахождении решения определенной системы из ур-ний с неизвестными решили только в 17—18 вв. Г. В. Лейбниц (1646—1716) и Г. Крамер (1704—52). Они ввели понятие определителя и обосновали соответствующее исчисление определителей. Исследование неопределенных (т. е. имеющих более одного решения) и несовместных (не имеющих решений) систем провели только в 19 в. К. Ф. Гаусс (1777—1855) и Л. Кронекер (1823—91). Потребность в таких исследованиях

возникала в аналитической геометрии и в анализе при изучении ф-ций нескольких неизвестных, а также в теории линейных дифф. ур-ний. В частности, постепенно выяснилось, что главный метод для эффективного решения линейных дифф., а затем и интегр. ур-ний, возникающих в механике, физике и технике, состоит в переходе к приближенным к ним системам алгебр, линейных ур-ний и к на-хощдению решений этих ур-ний. Здесь наука столкнулась со следующим явлением: нахождение числовых решений больших систем линейных ур-ний, содержащих сотни и тысячи неизвестных (а именно к таким системам сводятся прикладные задачи) требует выполнения огромного количества арифм. операций.

В связи с этим в 20 ст. возникает отдельное, особенно важное для практики, направление — вычисл. методы А. л., в задачу которого входит разработка и изучение эффективных процедур! алгоритмов для быстрейшего и надежного отыскания решений больших систем линейных ур-ний. Существенный сдвиг в этом вопросе наметился только после того, как достаточного уровня достигла вычисл. техника, особенно после создания ЭВМ.

Другая важная тема А. л. - изучение линейных преобразований вида:

Эта тема возникла на первых порах в аналитической геометрии в связи с преобразованиями координат: именно по указанной схеме преобразуются декартовы координаты точки при переходе от одной системы координат к другой. Исследования А. Кэли (1821—95), Ж. Сильвестра (1814—97), Ф. Клейна (1849— 1925) и др. привели к далеко идущему сближению геометрии и алгебры на основе таких центральных понятий, как «линейное преобразование» (см. Операторы линейные), «квадратичные формы» и др., которые являются и сейчас важнейшими понятиями в современной А. л. Это сближение стало особенно плодотворным, когда в конце 19 в. была разработана и вошла в употребление удобная адекватная система обозначений и относящийся к ней язык изложения: язык числовых векторов и матриц. Само понятие вектора возникло сначала в механике (вектор-сила, вектор-скорость и т. д.). Затем оно оказалось удобным для геом. исследований, сперва в двумерном и трехмерном пространствах, а в конце 19 в. Г. Грасман (1809—77) положил векторное исчисление в основу построения и изучения -мерного пространства. Только в 20-х гг. 19 в. векторная алгебра в рамках образовавшейся тогда А. л. получила окончательное аксиоматическое оформление в понятие «векторное пространство» (или «линейное пространство»). Одновременно в А. л. было обосновано и исчисление матриц (см. Алгебра матриц).

Примерно в эту же эпоху упомянутые понятия получили далеко идущие обобщения, их стали применять в новых областях, причем сразу в нескольких направлениях (напр., возникла и начала развиваться «бесконечномерная геометрия»). В трудах Д. Гильберта (1862—1943) впервые методы исследований и понятия А. л. были систематически перенесены на пространства ф-ций, рассматриваемых как бесконечномерные векторные пространства. Эта точка зрения была положена в основу изучения дифф. и интегр. ур-ний, вариационного исчисления и других областей анализа. Монография Д. Гильберта и Р. Куранта «Методы математической физики» явилась основополагающей для этого направления. Эта вновь возникшая область иногда, в отличие от А. л., наз. линейным, или функциональным анализом. Центр, понятием линейного анализа является понятие топологического векторного пространства. Другое обобщение связано с рассмотрением векторных пространств и их линейных преобразований над произвольными полями. Особый интерес представляют поля рациональных и алгебр, чисел, поля алгебр, ф-ций и, наконец, конечные поля. Векторные пространства над конечными полями, ранее хорошо известные только алгебраистам и специалистам по теории чисел, в последние годы становятся важными для ряда разделов матем. аппарата кибернетики: дискретного анализа, логики многозначной и для теории кодов с исправлением ошибок. Оказалось, что методы, понятия и результаты «классической» А. л., естественно, распространяются и на случай векторных пространств над произвольными полями.

Особенно плодотворным представляется перенесение на дискретный случай конечных полей техники матричного исчисления. В дискретном анализе и в многозначной логике успешно применяется хорошо разработанный аппарат А. л., а такой раздел, как линейные коды, в некотором смысле становится в последнее время просто одной из новых глав А. л. В свете задач таких разделов кибернетики, как программирование линейное, операций исследование, игр теория возникла и бурно развивается новая область А. л.- теория систем линейных неравенств и близко с ней связанные темы — выпуклые тела и выпуклые многогранники. Важность этой тематики стала ясной уже в 30-40-х гг. 20 ст., когда в работах по теории игр, по математическим вопросам планирования производства и другим наука вплотную столкнулась с необходимостью детального исследования решений систем линейных неравенств и соответствующего геом. аналога — выпуклых многогранников в -мерных пространствах. Оказалось, что эта тема, интересная сама по себе с точки зрения алгебры и геометрии, была до этого представлена лишь очень небольшим числом разрозненных работ. Начиная же с 40-50-х гг., особенно когда после появления ЭЦВМ, стал проявляться интерес к алгоритмам эффективного нахождения числовых решений линейных

равенств, эта область сформировалась в большую самостоятельную теорию внутри А. л., систематически разрабатываемую в многочисленных работах математиков многих стран, в том числе особенно успешно сов. математиками (Л. В. Канторович, С. И. Зуховицкий, С. Н. Черников и др.).

Лит.: Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М., 1970; Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Пер. с нем., т. 1-2. М.- Л., 1951; Линейные неравенства и смежные вопросы. Пер. с англ. М., 1959 [библиогр. с. 421—4583; Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Пер. с франц. М., 1963 [библиогр. с. 262—285]; Артин Э. Геометрическая алгебра. Пер. с англ. М., 1969 [библиогр. с. 280—281]. Л. А. Калужнин.