16.7. Инерционное детектирование шума

1. Выше, в § 14.14, мы анализировали безынерционное детектирование случайного процесса. Выясним теперь, как сказывается инерционность системы детектирования на статистических характеристиках выходного процесса.

Рассмотрим простейшую схему инерционного детектора (рис. 15.1). Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента дается зависимостью характеризует постоянную времени усредняющего звена. Введя в рассмотрение функцию , получим следующее дифференциальное уравнение, связывающее выходное исследуемое напряжение с входным заданным случайным процессом:

(16.7.1)

Будем полагать и гауссовым стационарным низкочастотным шумом — марковским процессом, удовлетворяющим уравнению

(16.7.2)

где — гауссов стационарный белый шум с интенсивностью 25. Таким образом, нам заданы следующие статистические характеристики и :

Выходной процесс вследствие нелинейности функции является негауссовым и немарковским процессом. Вместе с этим, совокупность является непрерывной марковской совокупностью, обладающей кинетическими коэффициентами

Исследуем некоторые статистические свойства выходной переменной , ограничившись гауссовым приближением и конкретной функцией

(16.7.3)

2. Если воспользоваться формулами (16.2.2), то мы получим следующие уравнения, определяющие установившиеся значения кумулянтов :

Полоса системы равна

Здесь под понимается производная по аргументу функции, усредненная в предположении его гауссовости.

Исходя из (16.7.3), где , и учитывая, что , нетрудно найти

Введем безразмерный параметр, описывающий среднее значение выходной переменной . Так как , то [ср. с (14.14.4)] .

Следовательно, ковариация и дисперсия равны

Подставляя эти значения в выражение для , мы найдем, что удовлетворяет трансцендентному уравнению [ср. с (14.14.6)]

(16.7.4)

Степень нелинейности детектора характеризуется в этом уравнении безразмерным параметром , мощность воздействующего шума — величиной . Кроме этого, в уравнение входит отношение полосы системы к полосе воздействующего шума:

(16.7.5)

Подставляя (16.7.5) в (16.7.4), можно было бы получить уравнение, определяющее полосу системы. Однако удобнее сначала находить из (16.7.4), а затем уже полосу системы и кумулянты.

Можно показать, что уравнение (16.7.4) имеет единственный положительный корень, зависящий от .

3. Ковариационная функция выхода детектора и его спектр согласно (16.2.4), (16.2.5) в гауссовом приближении таковы:

(16.7.6)

где

(16.7.5)

Энергетическая полоса спектра шума на выходе детектора равна

Таким образом, в гауссовом приближении все статистические характеристики выходного процесса определяются параметром , взаимоотношением и и мощностью входного шума.

4. Приступим теперь к исследованию и обсуждению полученных результатов. Начнем рассмотрение со случая широкополосного входного шума, когда его полоса много больше полосы системы: . Будем также полагать, что при постоянном значении у дисперсия входного шума изменяется за счет изменения высоты спектра входного шума .

При большом значении уравнение (16.7.4) принимает вид

Корень этого уравнения как функция для изображен на рис. 16.4. При , при . Полученная функция позволяет определить зависимость постоянной составляющей выходной переменной от дисперсии входного как . Отсюда следует, что постоянная составляющая сначала при малых s возрастает с ростом s медленно, а затем скорость роста увеличивается. Такая картина связана с тем, что, с одной стороны, при малой мощности воздействующего шума нелинейность детектора, отвечающая за постоянную составляющую, сказывается еще сравнительно мало и начинает играть заметную роль лишь при . Последующее уменьшение скорости роста связано с тем, что появившаяся постоянная составляющая из-за отрицательной обратной связи непрерывно сдвигает рабочую точку нелинейного элемента в область меньшей крутизны так, что при больших значениях мощности входного шума постоянная составляющая на выходе становится пропорциональной этой мощности.

В рассмотренном случае широкополосного воздействия спектр флуктуаций имеет резонансную форму с шириной и высотой

При малой мощности шума, когда ,

На рис. 16.5 изображена эволюция выходного спектра для . Сначала при малых мощностях входного шума полоса выхода неизменна и равна , в то время как быстро растет. Затем при дальнейшем возрастании полоса начинает расширяться оставаясь, однако, много меньше , а отношение стремится к единице. Тем самым, при малых мощностях входного шума мы имеем режим фильтрации, режим, близкий к линейному, в то время как при больших значениях s наблюдается режим расширения спектра — существенно нелинейный режим.

Рис. 16.4. и Рис. 16.5.

5. При дальнейшем росте мощности, когда полоса системы сильно возрастает , условие широкополосности нарушается, и при росте мы приходим к режиму квазистатичности, соответствующему . В этом режиме е определяется уравнением

которое полностью совпадает с (14.14.6). Это значит, что условие является не чем иным, как условием безынерцион-ности детектирования.

В режиме квазистатичности, когда мы приходим к случаю безынерционного детектора, рассмотренного в § 14.14, зависимость 8 от s изображена на графиках рис. 14.14. Сравнивая рис. 14.14 с рис. 16.4, видим, что в случае узкополосного входного шума постоянная составляющая на выходе растет существенно медленнее, нежели при широкополосном входе. Причиной этому является то, что при той же мощности входного шума высокочастотный шум попадает на детектор и, детектируясь, дает вклад в большей долей, чем низкочастотный, из-за того, что -цепочка является для него коротким замыканием.

Для низкочастотного шума согласно (16.7.6) и (16.7.7) получим, учитывая, что основная мощность флуктуаций лежит в полосе, много меньшей

Рис. 16.6.

Эволюция этого спектра [ср. с (14.14.7)] происходит только «по высоте» (рис. 16.6), которая возрастает при увеличении мощности входного шума в раз.

6. В заключение параграфа сделаем два замечания. Во-первых, отметим, что задача инерционного детектирования шума неоднократно рассматривалась в литературе , например, [5]) и уравнение (16.7.1) анализировалось различными методами в зависимости от соотношений времени корреляции воздействующего шума и постоянной времени системы. Вместе с этим часто постоянная времени системы определялась неверно, в качестве нее бралась постоянная времени -цепочки в то время как необходимо рассматривать величину, обратную полосе системы

существенно зависящую от характеристик воздействующего шума и, в частности, от его мощности.

При малой интенсивности воздействующего шума, когда мало, . Но и ошибка невелика. Однако при большом значении s, когда может принимать большие значения, ошибка может стать весьма существенной.

Во-вторых, обратим внимание на то, что в случае широкополосного входного процесса и появляется искушение вместо двух уравнений (16.7.1), (16.7.2) рассматривать одно

(16.7.8)

с дельта-коррелированным воздействием и решать его, полагая процесс марковским. Однако подобный подход не удается реализовать. Это связано с тем, что для (16.7.8) мы не получим конечных значений некоторых кинетических коэффициентов. Последнее обусловлено бесконечным значением дисперсии дельта-коррелированного воздействия .

Это может означать только одно — в полученных в этом параграфе выражениях мы не можем устремлять к бесконечности, сохраняя значение постоянным. Так оно и есть на самом деле, ибо , возрастая, приводит к бесконечно большим значениям или, что то же самое, к бесконечно большому значению постоянной составляющей на выходе детектора. С другой стороны, неограниченный рост дает бесконечно большое значение полосы системы , что, в свою очередь, ведет к нарушению условия широкополосности воздействующего шума.

Другими словами, при детектировании широкополосного шума он не может «безнаказанно» заменяться дельта-коррелированным процессом, и именно по этой причине мы и должны задаваться не одним уравнением (16.7.8), а двумя: (16.7.1), (16.7.2) и специально проверять, действительно ли при заданных параметрах детектируемый шум может считаться широкополосным.