2.5. Кумулянтные диаграммы

1. Для кумулянтного анализа случайных переменных удобен метод кумулянтных диаграмм — метод графического изображения кумулянтных скобок. Многие взаимоотношения кумулянтных и моментных скобок находятся с помощью этих диаграмм гораздо проще, чем непосредственными вычислениями.

Рассмотрим совокупность произвольных случайных величин . Совместный кумулянт второго порядка будем обозначать диаграммой

Сплошная дуга, соединяющая случайные величины и , отображает статистическую связь первого порядка, существующую между ними.

Совместный кумулянт третьего порядка представим как

Левая диаграмма, показывает, что три случайные величины взаимосвязаны связями второго порядка (от каждой случайной величины исходят две сплошные дуги). Для краткости будем также использовать упрощенную правую диаграмму, полностью эквивалентную левой.

В соответствии с этим кумулянты четвертого, пятого и шестого порядков изобразим следующими диаграммами:

Первый кумулянт случайной величины будем передавать перекрещенной изолированной точкой

которая не имеет каких-либо статистических связей с другими случайными величинами.

Произведения кумулянтов будем изображать кумулянтными диаграммами, находящимися на одной непрерывной горизонтальной оси, например,

Суммы слагаемых представим суммами соответствующих диаграмм, например,

Моментные скобки будем отображать точками, находящимися на пунктирной линии и охваченными скобками статистического усреднения:

Таким образом произведения случайных величин на диаграммах будут выглядеть как точки, связанные пунктиром:

2. Изобразим теперь с помощью диаграмм структуру моментных скобок. Первой формуле (2.4.3) соответствует диаграмма

(2.5.1)

второй

(2.5.2)

Построение этих диаграмм чрезвычайно просто и наглядно. В правые части равенств входят все возможные статистические связи которыми только и можно связать точки, входящие в моментные скобки. Так, в случае трех точек они могут быть связаны всего лишь одной связью, охватывающей все три точки (статистическая связь второго порядка), тремя связями, охватывающими по две точки (линейные статистические связи), и одним слагаемым, содержащим изолированные точки. Других комбинаций здесь не существует.

Таким образом, использование диаграммного изображения кумулянтов позволяет выяснить наиболее наглядным путем, какие статистические связи между случайными величинами могут содержаться в совместном моменте того или иного порядка.

Эта простота и наглядность приводит к тому, что с помощью диаграммы можно получить готовые формулы. В самом деле, возьмем, например, момент четвертого порядка и рассмотрим составляющие его связи. Очевидно, что существует лишь одна связь третьего порядка между четырьмя точками

Различных связей второго порядка между четырьмя случайными величинами, при которых одна точка остается изолированной, может быть только четыре:

Различных комбинаций связей только первого порядка может быть всего три:

Если же брать связи первого порядка, оставляя две точки изолированными, то, как нетрудно сообразить, таких слагаемых должно быть шесть:

Слагаемое, отражающее отсутствие всяких связей, всегда одно

Итак, мы перебрали все комбинации статистических связей возможных между четырьмя случайными величинами. Если теперь все 15 диаграмм просуммировать, то мы получим диаграммное изображение совместного момента четвертого порядка.

Однако рисовать пятнадцать диаграмм громоздко. Поэтому введем в употребление скобки симметризации и для кумулянтных диаграмм. Например, шесть слагаемых диаграмм с двумя изолированными точками представим так:

При использовании скобок симметризации диаграммное изображение четвертого момента примет компактный вид

полностью соответствующий структуре третьей формулы (2.4.3).

Таким образом, коэффициенты, стоящие перед скобками симметризации, получаются очевидным образом из биномиальных коэффициентов, определяющих число различных комбинаций, связывающих заданное число точек различными видами статистических связей.

Диаграммы (2.5.1)—(2.5.3) справедливы для произвольного вероятностного распределения случайных величин. При уточнении вероятностного распределения рассматриваемые диаграммы принимают более конкретный вид. Так, например, если совокупность случайных величин является гауссовой, для которой существуют только связи первого порядка, то вместо (2.5.3) мы имеем

Если к тому же средние значения всех случайных величин равны нулю, то

что мгновенно приводит нас к известной формуле

3. В кумулянтном анализе случайных величин иногда приходится размыкать (выражать через кумулянты) кумулянтные скобки следующего вида:

(2.5.4)

Приведем значения ряда подобных кумулянтных скобок и раскроем их смысл. Прежде всего, очевидно, что кумулянтная скобка (2.5.4) отлична от нуля только в том случае, когда статистически взаимосвязаны с .

Не представляет труда непосредственно проверить, что для простейшего вида кумулянтной скобки (2.5.4) имеет место следующее тождество:

(2.5.5)

Это тождество иллюстрируется кумулянтными диаграммами

Из (2.5.5) и диаграмм следует, что хотя кумулянтная скобка по отношению к и представляет связь второго порядка, она не будет обращаться в нуль и в том случае, когда имеются связи лишь первого порядка (например, между и ), ибо из-за того, что и входят в виде произведения, между ними фактически существует еще одна связь (на диаграмме она показана пунктиром). Поэтому и последние два слагаемых диаграммы представляют как бы связи второго порядка, которые и завязывают между собой все три случайные величины.

Эта «пунктирная» связь имеется всегда, независимо от истинной статистической взаимосвязи величин и . Так, если и статистически независимы, то в (2.5.5) и на диаграмме пропадает лишь первое слагаемое, в то время как остальные слагаемые и, следовательно, будут, в общем случае, отличными от нуля.

4. Вышеприведенное «диаграммное толкование» соотношения(2.5.5) дает возможность сразу же с помощью аналогичных диаграмм раскрывать и более сложные выражения такого типа. Так, если рассмотреть кумулянтную скобку , то легко сообразить, что ее диаграммное выражение примет вид

Все остальные комбинации взаимосвязей не дадут завязывания всех четырех случайных величин.

Этой диаграмме соответствует тождество

(2.5.6)

которое, конечно, может быть проверено непосредственно, хотя и не столь тривиально, как (2.5.5).

Поступая аналогично, получим для и

Симметризация производится здесь по всем переменным, кроме и , т. е. она идет по точкам, не связанным пунктиром. Отметим, что непосредственная проверка двух последних формул носит чрезвычайно громоздкий характер.

5. Обобщая предыдущие выражения, можно прийти к следующей общей формуле размыкания кумулянтных скобок (2.5.4):

(2.5.8)

Для частного случая

Эта формула в обычном обозначении кумулянтов принимает вид

(2.5.9)