Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8.3. Спектры высших порядков1. Спектр случайного стационарного процесса определяется как сопряженная Фурье от корреляционной функции
Первое слагаемое в правой части является спектральной плотностью центрированного случайного процесса
Таким образом,
Второе слагаемое описывает спектр постоянной составляющей случайного процесса 2. При оперировании с кумулянтными функциями
Вследствие симметричности кумулянтной функции по отношению к Таким образом, заданному набору кумулянтных функций
исчерпывающим образом представляющему стационарный случайный процесс, соответствует набор спектральных плотностей (или будем говорить — набор спектров)
представляющий случайный стационарный процесс также исчерпывающим образом. Если набор спектральных плотностей (8.3.4) задан, то кумулянтные функции находятся в соответствии с обратным преобразованием Фурье:
Таким образом, высшие спектральные плотности Эго обстоятельство имеет интересное следствие. Как известно, спектральная плотность (8.3.2) не дает исчерпывающей информации о случайном процессе. Обращение к ряду (8.3.4) позволяет увидеть причину этого. Для исчерпывающей информации о стационарном случайном процессе необходимо знание всех спектральных плотностей Вместе с этим, если стационарный случайный процесс гауссов, то все высшие спектральные плотности равны нулю, и теперь уже спектральная плотность Пример 8.3.1. Если рассмотреть дельта-процесс, обладающий кумуляитными функциями (7.4.4)
то, как элементарно следует из (8.3.3), набор соответствующих спектральных плотностей имеет вид
Таким образом, основной чертой дельта-процесса является независимость от частоты всех его спектральных плотностей. Можно сказать, что этот негауссов случайный процесс является «сверхбелым» процессом. 3. Кроме
С помощью формул (3.2.7), (4.3.1) получим
При вычислении сопряженной Фурье от Эти величины будут входить слагаемыми в спектр
спектральной плотностью порядка Тогда случайный стационарный процесс в ряде случаев полезно представлять набором спектральных плотностей:
4. Очевидно, что спектральные плотности
Для нахождения спектральных плотностей третьего порядка
Сравнивая полученный результат с (8.3.7) и учитывая симметрию функций
Аналогичным образом получим
В общем случае спектральная плотность
5. Симметрия кумулянтных функций случайного стационарного процесса, представленная формулами (7.2.1) — (7.2.6), должна привести к подобной же симметрии спектральных плотностей Если рассмотреть Из условий симметрии
можно получить соотношения
которым должна подчиняться спектральная плотность третьего порядка любого случайного стационарного процесса. Отсюда следует, что
Для спектральной плотности четвертого порядка аналогично найдем
Это приведет к
В общем случае на основании (7.2.6) и (8.3.3)
Таким образом, мы нашли общие условия симметрии, которым подчиняются спектральные плотности высших порядков произвольного стационарного случайного процесса. В этом плане четность спектральной плотности 6. Полученные условия симметрии спектральных плотностей Используя (8.3.8), (8.3.9) и (8.3.11), получим, например,
Аналогичным образом придем к общей формуле
так же как и 7. Рассмотрим теперь стационарную совокупность двух случайных процессов
Определим совместные спектральные плотности высших порядков соотношением
По заданным спектральным плотностям
Таким образом, наряду с набором совместных кумулянтных функций стационарную совокупность двух случайных процессов исчерпывающим образом представляет и набор совместных спектральных плотностей
Исходя из свойств симметрии совместных кумулянтных функций, нетрудно получить и свойства симметрии совместных спектральных плотностей. Если учесть, что первая группа аргументов относится к первым индексам, а вторая группа — ко вторым индексам, то очевидно, что, во-первых, спектральная плотность (8.3.14) не изменится при любой перестановке аргументов внутри каждой группы и, во-вторых,
Если, наконец, принять во внимание формулу (7.5.3), то из (8.3.12) следует
Здесь обозначено
|
1 |
Оглавление
|