7.3. Времена статистической зависимости

1. В § 6.3 мы ввели интервалы статистической зависимости случайного процесса. Для стационарного процесса эти понятия могут быть определены более конкретно, и им может быть придан количественный характер.

Нормированные кумулянтные функции стационарного процесса , согласно (7.1.4), пропорциональны кумулянтным функциям и поэтому обладают всеми их свойствами. Так, прежде всего, имеет место симметричность по отношению ко всем :

(7.3.1)

и соотношения, вытекающие из (7.2.6),

(7.3.2)

Эти формулы устанавливают определенные свойства симметрии замкнутой поверхности

(7.3.3)

в -мерном декартовом -пространстве с координатными осями . Назовем поверхность (7.3.3) изоковариантой -го порядка случайного стационарного процесса.

Нормированные кумулянтные функции описывают меру статистической связи между значениями случайного процесса, взятыми в точках , поэтому изоковарианты представляют такое множество значений , на котором величина статистической связи -го порядка постоянна и равна . Семейство изоковариант, соответствующее различным значениям , является семейством поверхностей разной по величине статистической связи.

Как следует из (7.3.1), все изоковарианты пересекают положительное направление координатных осей на равных расстояниях от начала координат и смметричны по отношению ко всем главным осям симметрии базиса пространства.

При все , что соответствует исчезновению статистической связи при раздвижении моментов времени . Вместе с тем в -пространстве существуют точки, в которых нормированная кумулянтная функция принимает максимальное значение Если такая точка одна, то нетрудно показать, что она совпадает с началом координат . Заметим, что изоковарианты не обладают центральной симметрией [поверхностью (7.3.3) не может быть многомерная сфера], а их выделенные направления симметрии не совпадают с координатными осями. Если обладает одним максимумом, что мы далее и предположим, то времена статистической зависимости -го порядка могут быть определены например, как расстояния изоковарианты

(7.3.4)

от начала координат вдоль ее характерных направлений.

2. Для ковариационной функции , где — коэффициент корреляции случайного процесса, время статистической зависимости первого порядка есть время корреляции. На основании (7.3.4) оно находится из условия

(7.3.5)

Вместе с тем, время корреляции часто вводится интегральными соотношениями

(7.3.6)

(7.3.7)

Эти три определения дают, разумеется, несколько различные значения времени корреляции, однако порядок их величины одинаков.

3. Нормированная кумулянтная функция третьего порядка обладает двумя временами статистической зависимости второго порядка и . На основании (7.3.1), (7.3.2) она имеет следующие свойства:

Рис. 7.1.

Ее изоковариантами служат некоторые замкнутые кривые на плоскости , , симметрично расположенные относительно главной биссектрисы и пересекающие оси , на равных расстояниях от начала кординат так же, как и оси , (но уже, в общем случае, на других равных расстояниях). Возможный вид изоковариант изображен на рис. 7.1 для двух разных случаев.

В первом случае изоковарианта симметрична также и по отношению к неглавной биссектрисе, что имеет место при инвариантности к замене . Для этого случая и могут быть введены соотношениями

(7.3.8)

Во втором случае возможный способ определения времен статистической зависимости связан с различной «скоростью уменьшения» статистической связи для положительных и отрицательных значений . Ему соответствует