14.13. Неявные нелинейные преобразования

1. В предыдущих параграфах мы рассмотрели нелинейные безынерционные преобразования , выполняемые по закону

Следует отметить, что не всегда имеется явное выражение выходной переменной через входную. В более общем виде нелинейное преобразование может быть представлено выражениями типа

(14.13.1)

Возникает задача о нахождении статистических свойств у при таком задании нелинейного преобразования.

Необходимо отметить, прежде всего, одно важное обстоятельство. Если входное распределение негауссово, то, как мы видели раньше, нахождение кумулянтов и кумулянтных функций выходной переменной является с вычислительной точки зрения достаточно сложной задачей. И в то же время это вычисление становится сравнительно простым, если гауссов процесс.

Однако если мы обратимся к преобразованиям типа (14.13.1), то при гауссовом нахождение статистических характеристик выходной переменной не становится более простой операцией, ибо при нелинейном преобразовании даже гауссовой переменной выходной процесс всегда будет негауссовым и, следовательно, негауссовым будет один из аргументов функции . Таким образом, в случае неявных нелинейных преобразований предположение о гауссовости входной переменной нисколько не упрощает решение задачи.

2. Рассмотрим, например, безынерционное нелинейное преобразование с функцией , нелинейной по обоим аргументам. Если мы захотим вычислить первый выходной кумулянт, равный

(14.13.2)

то вследствии нелинейности F в правую часть (14.13.2) будут входить в общем случае все кумулянты купу не говоря уже о смешанных кумулянтах . Поэтому для нахождения кумулянтов выходной переменной необходимо к уравнению (14.13.2) дописать бесконечное число других уравнений вида

Безнадежность нахождения всех кумулянтов в общем случае произвольной функции очевидна.

Та же ситуация имеет место и при отыскании кумулянтных функций. Так, к уравнению

на основании сказанного следует добавить последовательность уравнений типа

Таким образом, задача точного отыскания статистических характеристик выходного случайного процесса при нелинейных безынерционных преобразованиях, заданных в неявном виде, является в общем случае чрезвычайно сложной.

Рис. 14.12.

Если же не ставить вопроса о точном нахождении всех статистических характеристик выходной переменной, а решать задачу приближенно, взяв неизвестное распределение в виде модельного распределения, т. е. ограничившись конечным набором кумулянтов или кумулянтных функций, то задача становится уже, в принципе, простой, поскольку цепочка уравнений как для кумулянтов, так и для кумулянтных функций становится конечной и замкнутой.

Наиболее просто задача будет решаться для гауссовой аппроксимации совокупности . В этом случае достаточно рассмотреть лишь четыре уравнения для кумулянтных функций:

Полагая , мы автоматически получим еще два уравнения для кумулянтов . При этом, конечно, значения предполагаются заданными.

3. Разберем теперь подробнее сравнительно простой случай неявного нелинейного преобразования

(14.13.3)

Подобное уравнение описывает систему, указанную на рис. 14.12. Коэффициент представляет отрицательную обратную связь, а функция — безынерционный нелинейный элемент. Будем также предполагать гауссовым стационарным случайным процессом с заданным средним значением и ковариационной функцией .

Прежде всего отметим, что так как входной процесс является гауссовым, а нелинейное преобразование безынерционным, то кумулянтные функции выходной переменной зависят только от и . Это значит, что для этих функций, в том числе и для ковариационной функции выхода, может быть записан ряд по степеням . Однако для записи такого ряда мы не можем непосредственно воспользоваться формулами (14.6.1), (14.6.2), ибо функция зависит теперь еще и от выходной переменной. Вместе с этим вычисляя производные по правилам, соответствующим неявным функциям, мы, тем не менее, этот ковариационный ряд можем построить.

В самом деле, отмечая штрихом производную по аргументу, имеем

Подставляя эти производные в (14.6.2), получим ковариационный ряд

(14.13.4)

дающий точное выражение для корреляционной функции выхода Из этой формулы отчетливо видно, что наличие обратной связи существенно усложняет вычисление . Если , то (14.13.4) как и должно быть, переходит в (14.6.2). Если же , то отыска ние коэффициентов перед весьма усложняется и главным об разом не потому, что появляются дроби, а потому, что зависит те перьот двух переменных: и , и чтобы эти коэффициенты вычис лить, надо задаваться кумулянтами , которые нам неизвестны. А чтобы их получить, надо, в свою очередь, писать для них ряды по степеням , коэффициенты при которых будут не проще, чем в (14.13.4). Поэтому, чтобы точно определить значение хотя бы одного коэффициента в (14.13.4), необходимо решать бесконечную последовательность уравнений для кумулянтов совокупности , как это выше и указывалось.

Таким образом, хотя мы и получили точную формулу для , тем не менее, вычислить корреляционную функцию точно мы не в состоянии. И поэтому остается единственная возможность — приближенное отыскание корреляционной функции, а также и среднего значения

относительно которого также справедливо все сказанное.

Для приближенного отыскания первых двух кумулянтных функций выходной переменной (а только они и будут нас интересовать) можно применять различные приемы. Можно, например, принять гауссову аппроксимацию совокупности . С другой стороны, можно пытаться найти точное решение при слабой связи и, наконец, при сильнои связи .

4. Рассмотрим гауссову аппроксимацию. Введем для удобства переменную , которая при этой аппроксимации также имеет гауссово распределение. Первые две кумулянтные функции этой переменной равны

Кроме того,

Используя эти соотношения, а также (14.12.8), найдем

Отсюда получаем

(14.13.5)

Таким образом, для выходной переменной имеем окончательно

(14.13.6)

Итак, корреляционная функция выхода исследуемой нелинейной системы с обратной связью в гауссовом приближении оказалась равной

(14.13.7)

Сравним полученный результат с точным рядом (14.13.4). Прежде всего следует отметить, что мы пришли к некоторым «квазилинейным» соотношениям в том смысле, что ковариация выхода пропорциональна ковариации входного шума. Это полностью согласуется с тем, что мы аппроксимировали как вход, так и выход гауссовыми процессами, что было бы точным результатом только для линейной системы. Вместе с этим, приставка «квази» означает, что нелинейные эффекты, тем не менее, есть. В самом деле, как величина постоянной составляющей на выходе, так и коэффициент нальности между ковариациями существенно зависят как от нелинейных свойств функции , так и от параметров входного шума, его среднего значения и дисперсии.

Так, например, дисперсия выхода будет нелинейно зависеть от дисперсии входа. Другими словами, мы получили как бы линейность системы по отношению к преобразованию формы ковариационной функции шума и нелинейность по отношению к преобразованию среднего и дисперсии.

Все это справедливо и для взаимосвязи спектров, которая получается преобразованием Фурье (14.13.7):

5. Рассмотрим приближение слабой связи, при котором коэффициент обратной связи достаточно мал, так что

В этом случае неявное нелинейное преобразование (14.13.3) принимает вид явного преобразования

к которому при гауссовом могут быть применены методы § 14.10. Так, среднее значение выходной переменной равно

где правая часть зависит только от и , а ковариационная функция выхода определяется ковариационным рядом

коэффициенты которого также зависят только от и . Выходной спектр в случае слабой обратной связи имеет вид

Если же коэффициент обратной связи настолько мал, что

и обратная связь не играет практически никакой роли.

6. Обратимся, наконец, к приближению сильной связи. Предположим, что существует однозначная обратная функция . Тогда

Пусть настолько велико, что

В этом случае, очевидно, разность , действующая на нелинейный элемент, мала. Поэтому можно записать

Тогда

(14.13.8)

и мы приходим к линейному преобразованию. Таким образом, сильная обратная отрицательная связь, охватывающая нелинейный элемент, «заставляет» его работать в нулевой точке и, если , линеаризует его.

Если выход нелинейного элемента равен нулю при нулевом входе и , то из (14.13.8) следует, что .

Таким образом, в этом случае в приближении сильной обратной связи нелинейность элемента практически не сказывается, и связь характеристик выхода с характеристиками входа определяется линейными преобразованиями