14.7. Преобразование спектров негауссовых процессов

1. Известно, что безынерционные нелинейные системы могут различным образом изменять спектр негауссова случайного процесса. В настоящем параграфе мы ставим задачу найти общие закономерности и особенности трансформации спектра и на сравнительно простых примерах выявить и проанализировать причины указанного разнообразия. При этом мы ограничимся рассмотрением только спектра второго порядка, т. е. спектра мощности случайного процесса.

Пусть имеется стационарный входной процесс . Спектр мощности выходного также стационарного случайного процесса равен

В случае произвольного вероятностного распределения ковариационная функция выхода дается рядом (14.4.5). Переходя в левой и правой частях к корреляционным функциям

вместо (14.4.5) получим ряд

где

Следовательно,

(14.7.1)

Учтем теперь, что согласно (14.4.4) функции , а следовательно, и зависят от всех двумоментных кумулянтных функций входного процесса, исключая :

Это значит, что спектр выхода при произвольном вероятностном распределении не определяется только спектром входного процесса , а в существенной степени зависит и от его высших кумулянтных функций (вернее, от преобразований Фурье их комбинаций).

Если ввести обозначение

и воспользоваться операцией свертки то ряд (14.7.1) может быть записан в виде

(14.7.2)

Таким образом, вклад в дают все спектры высших порядков

(14.7.3)

которые входят в спектральные функции .

При одном и том же и одном и том же нелинейном преобразовании выходной спектр будет различным, если различными являются спектры , т. е. если имеется «различная негауссовость» входного случайного процесса. Можно сказать, что спектр мощности выхода нелинейного преобразования служит своего рода «индикатором» входного вероятностного распределения. Это обстоятельство связано именно с нелинейными преобразованиями, ибо при линейных преобразованиях спектр мощности выхода определяется лишь спектром мощности входа и характеристиками системы.

2. Проведем теперь более подробное исследование некоторых простейших примеров нелинейного преобразования. Прежде всего рассмотрим квадратичное преобразование

выходная корреляционная функция которого дается формулой(14.5.4)

где . Совершая косинус-преобразование Фурье левой и правой части этого выражения с учетом (14.7.3), найдем следующее значение выходной спектральной плотности:

(14.7.4)

Такова структура спектра после квадратичного преобразования при произвольном вероятностном распределении на входе. Этот спектр определяется спектром мощности входа, а также входными спектрами третьего и четвертого порядков. При этом входные спектры более высоких порядков не дают вклада в выходной спектр. Это значит, что если имеются различные негауссовы случайные процессы, для которых спектры второго, третьего и четвертого порядка одинаковы, а спектры более высоких порядков различны, то только по выходному спектру мощности эти процессы мы отличить друг от друга не сможем.

Легко при этом понять, что отличие проявится лишь в выходных спектрах третьего, четвертого и т. д. порядков. Таким образом, для нахождения спектра на выходе квадратичного детектора при произвольном вероятностном распределении входа само это вероятностное распределение, характеризуемое полным набором кумулянтных функций, знать не нужно.

Подобная ситуация, однако, наблюдается лишь для нелинейных преобразований полиномиального типа, а во многих других случаях приходится задаваться полным набором кумулянтных функций или, что то же самое, полным набором спектров высших порядков. В самом деле, для нелинейного преобразования , рассмотренного в § 14.5 п. 4, корреляционная функция выходной переменной согласно (14.5.6) зависит от всех кумулянтных функций . Это значит, что спектральная плотность также будет зависеть от всех спектров и их всевозможных сверток.

3. Вернемся к квадратичному детектору и рассмотрим ряд конкретных примеров входного процесса . Предположим для простоты, что , и не будем обращать внимание на постоянную составляющую выходного процесса, анализируя лишь . В этом случае спектральная плотность выходных флуктуаций, согласно (14.7.4), будет равна

(14.7.5)

Детектирование пуассоновского случайного процесса. Пусть имеется стационарный пуассоновский случайный процесс с заданной формой элементарного импульса и со средней частотой импульсов в единицу времени, равней . Пусть случайная величина а обладает симметричным вероятностным распределением. Согласно (7.4.8) кумулянтные функции рассматриваемого пуассоновского процесса равны

Следовательно,

Приняв во внимание, что входящие сюда интегралы представляют собой функции корреляции первого рода (см. § 11.2) элементарного импульса и его квадрата

запишем кумулянтные функции как

Сопряженные Фурье этих функций равны

где , есть спектр энергии импульса и (см. § 11.2).

Тем самым

(14.7.6)

Таков спектр флуктуаций «продетектированного» пуассоновского шума. Его первое слагаемое, представляющее негауссовость пуассоновского шума, является положительным. Это значит, что в рассматриваемом примере негауссовость входного шума увеличила на всех частотах спектральную плотность выходного процесса.

Конкретизируем теперь вид элементарного импульса, придав ему прямоугольную форму длительностью :

В этом случае корреляционные функции импульса равны

Здесь — треугольная функция (7.4.3), сопряженная Фурье которой имеет вид

(14.7.7)

Таким образом,

(14.7.8)

а выходной спектр на основании (14.7.6) принимает вид

где — среднее число элементарных импульсов, возникающих на времени, равном длительности одного элементарного импульса. При этом спектр входного процесса равен

(14.7.9)

Принимая во внимание, что

найдем следующее окончательное выражение для полного спектра мощности выхода идеального квадратичного детектора, на вход которого подан пуассоновский случайный процесс с прямоугольным элементарным импульсом:

На рис. 14.4 изображены спектры мощности на входе и на выходе.

Рис. 14.4.

Детектирование телеграфного сигнала. Рассмотрим симметричный телеграфный сигнал, осциллограмма которого изображена на рис. 7.5. Будем полагать, что значения принимаются равновероятно, так что . Как уже отмечалось выше, в § 7.4, перемены знака телеграфного сигнала в общем случае определяются различными статистическими закономерностями, что приводит к различным видам ковариационных функций.

1) Если число перемен знака определяется законом Пуассона со средним числом перемен знака в единицу времени, равным , то согласно (7.4.9)

Спектр мощности такого телеграфного сигнала имеет вид

2) Если перемены знака происходят в моменты времени, кратные , то согласно (7.4.10)

так

(14.7.10)

где определяется формулой (14.7.7).

3) Если, наконец, перемены знака обусловливаются переходами через нуль вспомогательного гауссова стационарного случайного процесса, обладающего ковариационной функцией , то

В этом случае спектр сложным образом зависит от и при произвольном спектре также может быть в достаточной степени произвольным.

Тем самым, телеграфный сигнал может обладать совершенно различными спектрами, и это различие обязано различной «статистике» перемен знака.

Перейдем теперь к детектированию телеграфного сигнала. Как уже отмечалось, в этом случае на выходе идеального квадратичного детектора вообще отсутствует шум, а имеется лишь постоянная составляющая. Это значит, что и ковариационная функция выхода, и спектр, определяемые формулами , (14.7.5), тождественно равны нулю:

Из этих соотношений может быть извлечена полезная информация о неизвестном нам негауссовом двумоментном вероятностном распределении телеграфного сигнала. Так, очевидно, для любого телеграфного сигнала

(14.7.11)

Поскольку правые части (14.7.11) отрицательны, постольку у телеграфного сигнала и четвертая кумулянтная функция, и спектр четвертого порядка всегда отрицательны. Первое соотношение (14.7.11) дает нам возможность найти четвертую кумулянтную функцию для трех рассмотренных случаев телеграфного сигнала:

Интересно сравнить эти всюду отрицательные кумулянтные функции с четвертой кумулянтной функцией пуассоновского случайного процесса (14.7.8), которая всюду положительна.

4. Обратимся к спектрам телеграфного сигнала. Второе соотношение (14.7.11) означает, что каков бы ни был спектр второго порядка телеграфного сигнала, а как мы показали ранее, он может быть практически любым, спектр четвертого порядка всегда будет

Рис. 14.5. и Рис. 14.6.

определяться его автосверткой, т. е. он уже не может быть произвольным. Этот результат весьма интересен. Если изобразить спектр входного телеграфного сигнала и спектр, имеющийся на выходе идеального квадратичного детектора (рис. 14.5), и сравнить эту картину с картиной преобразования спектра пуассоновского случайного процесса (рис. 14.4), то возникают три вопроса: чем объясняется разница в картинах выходных спектров, тем более разительная, что входные спектры могут быть одинаковыми. Куда «делся» выходной шум в случае телеграфного сигнала? Как понять «механизм исчезновения» спектральных компонент входного шума, и в каких случаях вообще может быть такое исчезновение?

Ответ на первый вопрос может быть дан сразу на основании проведенного анализа. Возможное разнообразие картин выходного спектра при одном и том же входном спектре и одном и том же нелинейном преобразовании связано с возможным разнообразием спектров высших порядков входного сигнала, т. е. фактически — с разнообразием негауссовости входа. В конкретном случае квадратичного детектора это разнообразие связано с различным видом входных спектров четвертого порядка .

Ответы на второй и третий вопросы требуют специального рассмотрения, которое будет проведено в § 14.9.

5. Детектирование гауссова шума. В этом случае формула (14.7.5) переходит в

Таким образом, спектр выхода равен свертке спектров входа. В качестве конкретного случая возьмем гауссов случайный процесс, обладающий прямоугольным спектром (рис. 14.6):

имеющим центральную частоту и ширину, равную .

Операция свертки такого спектра выполняется чрезвычайно легко графически, и в результате мы получаем спектр, имеющий низкочастотную часть треугольной формы, простирающуюся до частоты (так называемый «низкочастотный треугольник , и высокочастотную часть также треугольной формы, простирающуюся от частоты до с вершиной в точке , например, [53]). Соответствующий полный спектр выхода также изображен на рис. 14.6.

Таким образом, при квадратичном преобразовании входной спектр «расщепился» на две части: на низкочастотную часть и на часть, находящуюся в области удвоенных частот.