15.5 Инерционная система с кубической нелинейностью. Спектры

1. Будем теперь считать, что все переходные процессы закончились, кумулянты приняли установившиеся значения, и марковский негауссов процесс, описываемый уравнением (15.4.1), стал стационарным случайным процессом. Исследуем спектр этого процесса и найдем его время корреляции в гауссовом и эксцессном приближениях.

В гауссовом приближении корреляционная функция и спектр согласно (15.2.6), (15.2.8), (15.4.18) равны

Зависимость дисперсии от параметра системы и интенсивности воздействующего шума определяется формулой (15.4.8). Соответственно время корреляции марковского процесса и энергетическая полоса его спектра равны

(15.5.1)

Следовательно, не только время релаксации, но и время корреляции марковского процесса существеннейшим образом зависит от интенсивности воздействующего шума . Это связано с тем, что от интенсивности воздействующего шума зависит жесткость системы, которая и определяет время корреляции процесса и его спектр.

Обратимся к рис. 15.3, на котором изображена функция, описывающая нелинейность системы. При малом значении , когда воздействующий шум является слабым, дисперсия выходного процесса также мала. Малость дисперсии означает, что значения , в основном, пребывают в области . В этой области некоторый усредненный наклон кривой а — жесткость системы — сравнительно невелик. Это приводит к большому значению времени корреляции и соответственно к малой полосе спектра. При возрастании дисперсия выходной переменной увеличивается, она захватывает область , где уже усредненный наклон а становится больше. Большая жесткость системы уменьшает время корреляции и увеличивает полосу спектра. При дальнейшем росте жесткость системы возрастает еще больше, что, в свою очередь, ведет к дальнейшему уменьшению и росту .

При этом количественные изменения времени корреляции и полосы спектра как раз и даются выражениями (15.5.1).

На рис. 15.4 показана эволюция спектра

(15.5.2)

с ростом интенсивности воздействующего на систему белого шума. Весьма примечательным обстоятельством является независимость

Рис. 15.3. и Рис. 15.4.

значения спектральной плотности при от интенсивности воздействующего шума. Это обстоятельство, так же как и зависимость , является, конечно, нелинейным эффектом.

Нетрудно понять, почему в данном случае не изменяется при изменении . Согласно определению энергетической полосы

Поскольку при изменении дисперсия D изменяется по тому же закону, что и . (15.4.8) и , то из приведенной формулы следует, что не должно зависеть от .

2. Рассмотрим теперь корреляционную функцию и спектр в эксцессном приближении и выясним, что нового дает это приближение и не меняет ли оно качественные закономерности, выявленные в гауссовом приближении.

Поскольку стационарный марковский процесс обладает симметричным вероятностным распределением, то , а также .

Уравнения (15.3.3), определяющие кумулянтные функции, примут вид

(15.5.3)

где коэффициенты согласно (15.3.9) равны

Здесь при вычислении коэффициентов мы уже учли стационарные значения кумулянтов в эксцессном приближении (15.4.12) и выразили через .

Характеристическое уравнение для (15.5.3) имеет вид

а его корни равны

Второй корень существенно больше первого .

Вычисляя коэффициенты в (15.3.5) с помощью (15.3.6), найдем следующие выражения для второй и четвертой кумулянтных функций в эксцессном приближении:

(15.5.4)

Сравнивая это с результатом гауссова приближения

видим, что учет эксцессного приближения привел, во-первых, как и должно быть, к ненулевому значению , во-вторых, усложнил вид корреляционной функции и, в-третьих, изменил время корреляции. Вместе с этим, второе слагаемое в обеих кумулянтных функциях для всех много меньше первого и гораздо быстрее спадает с ростом . По этой причине, а также и потому, что все рассмотрение идет приближенно, мы можем вторыми слагаемыми в (15.5.4) пренебречь и считать, что эксцессное приближение дает нам

и соответственно

(15.5.5)

Таким образом, главное, в чем проявился учет эксцессного приближения, кроме ранее полученной поправки на дисперсию, — это изменение времени корреляции и соответственно полосы и значения спектра в нуле, форму которого по-прежнему можно считать резонансной. В результате получаем

Таким образом, учет эксцессного приближения ничего не изменил в физической интерпретации полученных результатов и качественной картине эволюции спектра, а привел лишь к поправкам на параметры спектрально-корреляционных характеристик.

Это дает основание предполагать, что и неизвестные нам точные значения времени корреляции и ширины спектра негауссова марковского процесса имеют вид, указанный в таблице (с коэффициентом , являющимся пределом ряда 0,82; 0,91; ...).

3. Обсудим теперь весьма важную и интересную ситуацию, связанную с тем, что полученное значение спектральной плотности в точке не зависит от интенсивности воздействующего шума. Хотя этот результат получен нами только в гауссовом (15.5.2) и эксцессном (15.5.5) приближениях, есть все основания полагать его точным (неизвестным при этом остается лишь точное значение .

Рассмотрим исходное уравнение для процесса

(15.5.6)

и поставим вопрос: можно ли определить медленные компоненты марковского процесса методом квазистатики, т. е. пренебрегая производной и сводя дифференциальное уравнение к алгебраическому? На первый взгляд это вполне разумный подход. Действительно, мы выбираем такие медленные компоненты случайного процесса , для которых (или выполняется соответствующее неравенство для усредненных величин), и для этих медленных компонент получаем уравнение

(15.5.7)

которое описывает уже безынерционное нелинейное преобразование. Решая это уравнение соответствующими методами, мы находим значение спектральной плотности , и, как ожидается, этот результат должен совпасть с тем, что мы получаем, решая инерционное уравнение.

Вместе с тем мы получим явное противоречие в результатах. В самом деле, если мы будем решать уравнение (15.5.7) и отыскивать спектр , то совершенно очевидно, что он должен зависеть , например, , т. е. от , в то время как мы получили противоположный результат.

Объясняется это тем, что уравнение (15.5.6) нельзя решать квазистатически, потому что оно, с одной стороны, является нелинейным уравнением, а с другой стороны, в него входит белый шум. Разберем причину этого на гауссовом приближении, для которого уравнение (15.5.6) эквивалентно

(15.5.8)

Чтобы можно было здесь пренебречь по сравнению с , необходимо рассматривать медленность по сравнению с полосой , определяемой дисперсией процесса . В этом случае из

(15.5.9)

мы получим правильный ответ

если возьмем значение дисперсии . Но все дело в том, что это значение дисперсии мы не сможем получить ни из (15.5.9), ни тем более из (15.5.7), поскольку эти уравнения дают бесконечное значение из-за того, что есть белый шум. И если бы процесс не был белым шумом, а был просто широкополосным шумом с полосой, много большей , мы все равно не получили бы из безынерционных уравнений правильного значения дисперсии, ибо оно существенно определяется инерционностью системы.

Другими словами, чтобы получить правильный ответ, нам все равно пришлось бы обратиться к инерционной системе (15.5.8) или, что то же самое, к (15.5.6). Таким образом, пренебрегая производной в (15.5.6) и рассматривая (15.5.7), мы не сможем получить правильного значения . Разумеется, этот вывод не связан с конкретной кубической нелинейностью, а носит общий характер.

Итак, если кратко резюмировать, то можно сказать следующее: нелинейное уравнение

(15.5.10)

нельзя решать квазистатически, пренебрегая производной, потому что его нелинейность ведет к зависимости от дисперсии , которая, в свою очередь, может быть правильно определена широкополосном только при учете инерционности системы.

Забегая вперед, отметим, что только в том случае, когда воздействующий шум сам является достаточно медленным, действительно, можно пренебрегать производной в нелинейном уравнении (15.5.10), т. е. использовать квазистатический подход (см. § 16.3).