Раздел II. КУМУЛЯНТНОЕ ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Глава 6. КУМУЛЯНТНЫЕ ФУНКЦИИ

6.1. Основные определения

1. Как известно (см., например, [34]), к понятию случайного процесса приходят, рассматривая семейство случайных величин , зависящее от времени t как от параметра: . Если зафиксировать моменты времени , то совокупность представляет собой совокупность N случайных величин, различные вероятностные характеристики которой зависят от выбранных значений .

Выбирая число фиксированных моментов времени различным, мы можем описывать случайный процесс с разной степенью полноты. Простейшей плотностью вероятности случайного процесса является одномерная или одномоментная плотность вероятности , удовлетворяющая условию нормировки при любом значении t. Последнее название подчеркивает, что эта плотность вероятности описывает статистические характеристики случайного процесса, рассматриваемого в один момент времени. В соответствии с этим назовем -моментной плотностью вероятности случайного процесса -мерную плотность вероятности , удовлетворяющую при любых и условию нормировки и представляющую случайный процесс, рассматриваемый в моментах времени.

Таким образом, бесконечная последовательность плотностей вероятности

(6.1.1)

дает исчерпывающую информацию о случайном процессе .

Как и для случайных величин, для случайных процессов могут быть введены условные плотности вероятности. Так,

где является -мерной, но N-моментной условной плотностью вероятности. Значения , так же, как и все моменты времени, служат параметрами распределения.

Введение условных плотностей вероятности позволяет представить N-моментное распределение случайного процесса следующим образом:

(6.1.2)

2. Говорят, что значения случайного процесса статистически независимы между собой, если

(6.1.3)

В этом случае процесс полностью описывается одномоментной плотностью вероятности.

Случайный процесс , для которого

называется совершенно случайным процессом [6]. Для него также справедливо соотношение (6.1.3) для любых неравных между собой моментов времени, в том числе и сколь угодно близких. Это значит, что у совершенно случайного процесса значения и статистически независимы при любых сколь угодно малых .