Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.3. Свойства кумулянтных скобок1. Пусть
Первое свойство следует из симметричности совместного кумулянта (2.1.2) по отношению к парам индексов
Второе и третье свойства кумулянтных скобок можно доказать
Это чрезвычайно упрощает оперирование с кумулянтными скобками. Первые три свойства (2.3.1), очевидно, справедливы и для моментных скобок Четвертое свойство доказывают следующим образом. Пусть цифры 1, 2, 3, Если теперь рассмотреть две взаимно независимые совокупности случайных величин
Пятое свойство легко получить как следствие четвертого, приняв во внимание, что детерминированную величину можно рассматривать как случайную, статистически независимую от всех других. Пятое свойство, как и первые три, существенно упрощает использование кумулянтных скобок. Шестое свойство является следствием третьего и пятого. Второе и шестое свойства показывают определенную инвариантность кумулянтных скобок. Эта инвариантность кумулянтов к переносу начала отсчетов и изменению масштабов случайных величин и послужила поводом к тому, что кумулянты называют также и семиинвариантами (см., например, [13, 14]). Пример 2.3.1. Пусть случайная величина
Таким образом, кумулянты случайной величины (разумеется, начиная со второго) не изменяются при сдвиге случайной переменной на детерминированную величину. Шестое свойство, следовательно, обобщает эту инвариантность на случай многомерного распределения. 2. Совпадение первых трех свойств (2.3.1) для кумулянтных и моментных скобок имеет далеко идущие последствия. Так, если какие либо выражения для моментов некоторого вероятностного распределения получены при использовании только первых трех свойств (2.3.1), например, при совершении линейных операций над аргументами моментных скобок, то в точности такие же выражения справедливы и для кумулянтов. По этой причине они могут быть получены из выражений для моментов простой заменой точек на запятые во всех моментных скобках данного выражения. Пример 2.3.2. Пусть требуется найти кумулянты случайной величины
При получении этого выражения, т. е. при сведении моментной скобки
использовались только второе и третье свойства. Это значит, что теперь можно в правой и левой частях полученной формулы (2.3.2) заменить моментные скобки на кумулянтные. Это сразу же приведет нас к решению поставленной задачи:
Таким образом, кумулянт суммы В последующем изложении мы неоднократно будем использовать указанную возможность замены моментных скобок на кумулянтные. 3. Распространим некоторые свойства кумулянтных скобок на векторные случайные величины. Пусть задана совокупность случайных величин
в то время как транспонированный ему вектор Среднее значение случайных векторов Чтобы получить из двух случайных векторов
Свойство симметричности второго момента
Матрицу вторых кумулянтов
Для матрицы кумулянтов второго порядка справедливы те же соотношения симметрии
Если теперь рассмотреть матрицы
Эта формула сохраняется и для кумулянта второго порядка:
Таким образом, не только детерминированные коэффициенты, но и детерминированные матрицы можно выносить за кумулянтные скобки. Аналогичным образом можно показать, что
|
1 |
Оглавление
|