Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
12.7. Нормализация негауссова распределения1. Пусть имеется некоторая линейная система, описываемая переходной функцией
Пусть линейная система такова, что
В этом случае говорят, что имеет место эффект нормализации случайного процесса, поскольку все высшие кумулянты на выходе меньше, чем на входе. Если же система такова, что 2. Обсудим теперь, какими свойствами должна обладать линейная система, чтобы реализовался эффект нормализации, и какова физическая природа этого эффекта. Что делает линейная система с длительностью элементарного импульса? Если эта система безынерционна, то
и различные соотношения между Пусть
Таким образом,
Таким образом, случаю Если имеет место обратное соотношение
Следовательно,
В этом случае мы имеем большую инерционность системы и, как следствие, сильную нормализацию случайного процесса. Явление нормализации тесно связано с центральной предельной теоремой теории вероятностей (см. § 4.4), согласно которой распределение нормированной суммы статистически независимых «равновкладных» случайных величин стремится к гауссову при увеличении числа членов суммы, независимо от распределения каждого слагаемого. В самом деле, случайный процесс Если же Таким образом, нормализация пуассоновского процесса линейной инерционной системой происходит потому, что эта система увеличивает длительность элементарного импульса. И теперь вполне очевидным представляется следующее утверждение. Поскольку линейная инерционная система Однако, как будет показано в следующем параграфе, это утверждение ложно. Как установлено Л. П. Зачепицкой, могут быть случай, когда 3. Эффект нормализации случайного процесса линейной инерционной системой, разумеется, не связан с природой самого случайного процесса, и для того, чтобы этот эффект показать, нет необходимости обязательно прибегать к модели пуассоновского входного процесса. Имеются и другие примеры, четко показывающие существование нормализации. Одним из таких интересных и нетривиальных примеров является нормализация линейной инерционной системой совершенно случайного процесса. Подобная задача возникает при следующем часто встречающемся обстоятельстве. Пусть задана инерционная линейная система преобразования
где Спрашивается, будет ли распределение выходного случайного процесса гауссовым на том основании, что Пример 12.7.1. Пусть
Кумулянтные коэффициенты такого совершенно случайного процссса все конечны и равны
то получим
Таким образом, в данном случае выходной процесс получился гауссовым, а эффект нормализации проявился в том, что все высшие кумулянтные коэффициенты уменьшились в бесконечное число раз и обратились в нуль. Пример 12.7.2. Пусть по-прежнему
В этом случае (12.7.2)
Таким образом, несмотря на то, что на входе линейной инерционной системы мы имеем сколь угодно быстрый случайный процесс, все времена статистической зависимости которого равны нулю, т. е. они сколь угодно малы по сравнению с постоянной времени системы, тем не менее на выходе этой системы процесс негауссов. Но и в этом примере эффект нормализации имеет место. В самом деле, если рассматривать кумулянтные коэффициенты, соответствующие (12.7.3), то они равны бесконечности, ибо преобразуемый процесс
Таким образом, кумулянтные коэффициенты, как и в первом примере, уменьшились в бесконечно большое число раз. А это и должно быть рассмотрено как эффект нормализации. Именно таким образом и раскрывается парадокс, отмеченный в § 12.3.
|
1 |
Оглавление
|