14.4. Взаимосвязь ковариационных функций
1. Полагая в (14.3.7) 
, мы получим формулу
(14.4.1)
доказанную ранее Р. Прайсом [47—49] для гауссового случайного стационарного процесса 
. Как следует из вышеизложенного, эта формула является частным случаем общей формулы (14.3.8), показывающей взаимосвязь ковариационны функций входа и выхода нелинейного преобразования, и справедлива для любого вероятностного распределения входного случайного процесса.
Для производной ковариационной функции из (14.3.9), полагая 
, найдем
(14.4.2)
2. Выясним теперь общий характер взаимосвязи 
для произвольного нелинейного преобразования входного процесса. Правая часть (14.4.2) является функцией 
Так как статистическое усреднение идет здесь с помощью негауссовой плотности вероятности 
, то 
зависит от всех кумулянтных функций двумоментного распределения:
Таким образом 
(14.4.3)
Вычисляя правую часть этого уравнения при 
и обозначая
(14.4.4)
с помощью (14.4.3) для 
нетрудно записать следующий степенной ряд по 
:
(14.4.5)
Первое слагаемое, не зависящее от 
, определяется из начального условия
Таково в общем случае разложение 
по 
. Его коэффициенты определяются при условии некоррелированности 
и 
и зависят в общем случае от всех входных кумулянтных функций, начиная с третьего порядка. Вместе с этим, если функция 
есть полином, то разложение (14.4.5) содержит конечное число членов.
3. Ряд (14.4.5) может быть практически удобен и тогда, когда 
вычисляется при таких 
, для которых 
становится настолько малой величиной, что высшими степенями ковариационной функции можно пренебречь и опять же ограничиться конечным числом членов ряда. Если при больших значениях 
мала не только корреляционная связь между 
и 
, но малы и высшие статистические связи, то 
перестают зависеть от 
, становясь примерно равными 
, и для таких больших 
можно приближенно считать, что
При этом следует иметь в виду, что 
.
