§ 45. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЯВЛЕНИИ ПЕРЕНОСА В ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗАХ

Остановимся сперва на выяснении вопроса о том, как сочетается понятие градиента (производной по направлению) физической величины с дискретностью строения вещества.

Рис. 4.8.

В физической системе около данной точки пространства всегда можно выделить элементарный объем, который был бы достаточно малым и в то же время заключал в себе достаточно большое число молекул, чтобы можно было средние значения каких-либо свойств частиц этого объема рассматривать как макроскопические параметры. Если система находится в неравновесном состоянии (т. е. в ней от точки к точке меняются значения температуры, концентрации или других параметров), то систему можно разбить на множество элементарных объемов, в каждом из которых значения параметров постоянны, но они меняются при переходе от одного элементарного объема к другому.

В газах, как отмечалось ранее, элементарными объемами можно считать кубики с ребрами, равными средней длине свободного пробега молекул К. Если в газе имеется градиент температуры то, выделив на оси х точку 1 с температурой (рис. 4.8), можно утверждать, что только в окрестностях точки 2, отстоящей от первой на расстоянии можно говорить о другой температуре На рисунке 4.8 пунктирной линией показана идеализированная усредненная зависимость приведенная без учета дискретных свойств среды; на этом же рисунке ломаной линией показано изменение температуры, которое лучше отражает действительные свойства среды. Так как средние длины свободных пробегов молекул газов очень малы (при нормальных условиях примерно см), то обе картины изменения температуры, изображенные на рисунке 4.8, с точки зрения лабораторной практики неразличимы. Учет же влияния дискретных свойств среды на характер изменения ее параметров в пространстве важен для построения теории явлений переноса.

Упомянутые ранее явления переноса обусловлены тепловым движением частиц. Их строгая теория связана с детальным анализом столкновений молекул. Уравнения переноса в такой теории имеют довольно сложный вид интегродифференциальных уравнений, описывающих кинетические свойства одноатомных и (менее точно) многоатомных газов. Другое направление теории базируется на использовании понятия длины свободного пробега молекул. Основщ обоих направлений были заложены в трудах Больцмана и Максвелла. Но если первое направление в теории явлений переноса в разреженных газах, несмотря на сложность, имеет законченный вид, то

Рис. 4.9.

второе до последнего времени носит довольно приближенный характер. Это объясняется тем, что в ряде случаев необходимо было использовать усредненные молекулярные характеристики систем, выбор которых не всегда был правильно обоснован. Ниже рассматривается один из уточненных вариантов теории явлений переноса.

Если в газе мысленно выделить произвольную площадку, то вследствие теплового движения с обеих сторон ее будут пересекать молекулы, которые переносят с собой массу, импульс и энергию. Можно ввести понятие плотности микропотоков как некоторых усредненных характеристик молекулярного переноса: под плотностью микропотока следует понимать перенос того или иного свойства вещества через единицу площади за единицу времени в данном направлении тепловым движением молекул. Такие микропотоки использовались ранее для описания переноса импульсов (§ 33) и переноса массы (§ 34). В общем случае

где число молекул, проходящих через единицу площади за единицу времени, а — переносимая ими величина. Например, для диффузии масса одной молекулы).

На рисунке 4.9 изображены ось х, две перпендикулярные к ней плоскости расположенные друг от друга на расстоянии и микропотоки (в положительном направлении оси (в противоположном направлении). Указанные микропотоки характеризуют перенос свойства через любую поверхность, проведенную между плоскостями (их значения в этой области одинаковы, как и всех других усредненных характеристик элементарных объемов). Если параметры меняются вдоль оси х, то, очевидно, плотности микропотоков будут разными, это и порождает явления переноса. В теории же, основанной на использовании понятия длины свободного пробега, принимается, что и при наличии градиентов состояния элементарных объемов равновесны, в частности для них остаются справедливыми распределения Максвелла. Мы также будем пользоваться таким предположением. Тогда в силу локальной равновесности следует принять, что в каждом элементарном объеме относительно фиксированной оси при наличии вдоль нее градиента существуют два взаимно противоположных микропотока одинаковой плотности

Использование предположения о локальной равновесности порождает трудности построения теории явлений переноса (поскольку

Рис. 4.10.

которые могут быть преодолены введением дополнительной гипотезы, сущность которой поясняется ниже.

Выделим соседние элементарные объемы плоскостями 1,1 и 2,2 (рис. 4.10). В положительном направлении оси х, нормальном к указанным плоскостям, происходит тот или иной вид переноса, порождаемый градиентами соответствующих величин. Макроскопический перенос (перенос, обнаруживаемый на опыте) чрез площадку разграничивающую элементарные объемы, осуществляется микропотоками плотностью Из условия локального равновесия следует, что Заметим, что в выделенных элементарных объемах подавляющая часть молекул испытывает столкновения при движении по оси х, эти столкновения приводят к изменению плотности микропотоков.

Для определения макрофизического потока введем гипотезу: макрофизический поток определяется убылью микрофизических потоков при переходе от одного элементарного объема к соседнему вдоль направления рассматриваемых микропотоков. Согласно этой гипотезе макроскопическая плотность потока переносимой величины О (перенос через единицу площади за единицу времени, наблюдаемый на опыте) определяется через плотности микрофизических потоков соотношением

В скалярной форме Используя соотношение запишем

При получении последнего выражения была введена производная определяющая среднее изменение плотности микропотоков по оси х. Дискретность же среды учитывалась тем, что наименьшее изменение величины по оси х принималось конечным и равным

Формула (45.2) представляет собой общее уравнение явлений переноса в идеальных газах. На основе этого уравнения ниже рассмотрены частные случаи явлений переноса.