§ 48. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

Для анализа теплопроводности газа на основе общего уравнения переноса

необходимо конкретизировать выражение для плотности микропотока

Учитывая, что вязкость в известном смысле является аналогом теплопроводности (§ 41), определим величину (число молекул, проходящих через единицу площади за единицу времени) так же, как и при нахождении коэффициента вязкости, т. е. соотношением Соответственно

где -средняя квадратичная скорость, а — переносимая величина, приходящаяся на одну частицу.

В рассматриваемом методе принимается, что явления переноса обусловлены микропотоками частиц, совокупность которых настолько велика, что ее можно описать такими параметрами, как средняя скорость теплового движения частиц, плотность и температура. Ансамбль молекул представляет собой как бы часть системы, которой присущи все параметры и термодинамические функции, свойственные элементарным обьемам среды. Так, кроме названных параметров, микропотоку частиц можно приписать как внутреннюю энергию, так и энтальпию. Соответственно можно рассматривать микропотоки внутренней энергии и энтальпии. Отметим далее, что теплопроводность экспериментально исследуется в условиях, когда для идеального газа реализуется механическое равновесие, характеризуемое условием Пусть направление перехода частиц совпадает с направлением возрастания температуры. Тогда поток молекул, попадая в область высоких температур, увеличит свою внутреннюю энергию. Одновременно с этим рассматриваемая система, находящаяся при постоянном давлении, увеличит свой объем (переход к более высоким температурам сопровождается уменьшением плотности). Теплота, поглощаемая системой при переходе в область высоких температур,

определяется увеличением внутренней энергии и совершением изобарической работы. Тепловой эффект изобарического процесса определяется изменением энтальпии (§ 25).

Для описания теплопроводности в газах следует ввести микропотоки энтальпии. Запишем выражение для мольной энтальпии идеального газа (25.5):

Разделив последнее на число Авогадро, найдем энтальпию, рассчитанную на одну молекулу:

где теплоемкость при постоянном давлении, приходящаяся на одну частицу. Соответственно выражение для искомой плотности микропотока (48.2) принимает вид

Для теплопроводности количество теплоты, переносимой за время через площадку Учитывая (48.5), перепишем (48.1):

(величина как постоянная вынесена за знак производной). При раскрытии последнего выражения появится слагаемое, содержащее производную от связанное с переносом энтальпии диффузией. Согласно изложенному в § 46 перенос диффузией можно считать скомпенсированным противотоком энтальпии, порождаемым механическим перемещением среды. Тогда (48.6) можно записать в форме

Так как

Величина есть теплоемкость при постоянном давлении вещества, заключенного в единице объема. Введя подстановку , перепишем предыдущее выражение в виде

Аналогичный вид имеет уравнение теплопроводности Фурье (41.2):

Из сравнения последних двух формул следует, что для идеальных газов

Коэффициенты теплопроводности и вязкости одинаково зависят от давления и температуры. Выясним зависимость к от молекулярного веса. Для этого следует ввести ряд подстановок в (48.9), аналогичных тем, которые использовались при получении (47.10). Выразив удельную теплоемкость через мольную легко получить:

Таким образом, Иначе говоря, из ряда газов, имеющих примерно одинаковую мольную теплоемкость, легкие газы обладают большей теплопроводностью.