108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей.

Особенно удобно и естественно использовать понятие дифференциала в приближенных вычислениях

при оценке погрешностей. Пусть, например, величину х мы измеряем или вычисляем непосредственно, а зависящую от нее величину у определяем по формуле: При измерении величины х обыкновенно вкрадывается погрешность, которая влечет за собою погрешность для величины у. Ввиду малой величины этих погрешностей, полагают

т. е. заменяют приращение дифференциалом. Пусть будет максимальной абсолютной погрешностью величины (в обычных условиях подобная граница погрешности при измерении известна). Тогда, очевидно, за максимальную абсолютную погрешность (границу погрешности) для у можно принять

1) Пусть, например, для определения объема шара сначала (с помощью штангенциркуля, толщемера, микрометра и т. непосредственно измеряют диаметр шара, а затем объем V вычисляют по формуле

Так как то в этом случае, в силу (12),

Разделив это равенство на предыдущее, получим

так что (максимальная) относительная погрешность вычисленного значения объема оказывается втрое большей, чем (максимальная) относительная погрешность измеренного значения диаметра.

2) Если число х, для которого вычисляется его десятичный логарифм получено с некоторой погрешностью, то это отразится на логарифме, создавая и в нем погрешность.

Здесь так что, по формуле (12), х

Таким образом, (максимальная) абсолютная погрешность логарифма просто определяется по (максимальной) относительной погрешности самого числа, и обратно.

Этот результат имеет многообразные применения. Например, с его помощью можно составить себе представление о точности обыкновенной логарифмической гсинейки, со шкалой в мм. При отсчете или установке визира можно ошибиться, примерно, на 0,1 мм в ту или другую сторону, что отвечает погрещности в логарифме

Отсюда, по нашей формуле,

Относительная точность отсчетов во всех частях шкалы одна и та же!

3) При вычислении угла по логарифмо-тригонометрическим таблицам встает вопрос, какими таблицами выгоднее пользоваться - таблицами синусов или тангенсов. Положим

и будем считать максимальные погрешности равными (скажем, половине последнего знака мантиссы). Если обозначить соответствующие максимальные погрешности в угле через то, как и выше, получим:

так что

Рис. 47.

Таким образом оказывается, что при одинаковых ошибках в логарифме таблица тангенсов дает меныпую погрешность в угле, чем таблица синусов, и, стало быть, является более выгодной.

4) В качестве последнего примера рассмотрим вопрос о точности измерения неизвестного сопротивления у с помощью мостика Уитстона (рис. 47). При этом подвижной контакт передвигается по градуированной линейке до тех пор, пока гальванометр не покажет отсутствие тока. Сопротивление у определяется по формуле

где - известное сопротивление ветви

По формуле (12) получается:

если разделить почленно это равенство на равенство (13), то получим выражение (максимальной) относительной погрешности для у;

Так как знаменатель достигает своего наибольшего значения при а погрешность при измерении длины можно считать не зависящей

от х, то наименьшее значение для относительной погрешности достигается именно при Поэтому обыкновенно, для получения возможно точного результата, сопротивление (с помощью магазина сопротивлений) устанавливается с таким расчетом, чтобы ток исчезал при положении контакта возможно более близком к середине линейки