15. Свойства умножения.

Как и в случае рациональных чисел, для любых вещественных чисел сохраняются свойства:

Для примера докажем второе из них, начав со случая, когда все три числа - - положительны. Пусть - произвольные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам

Тогда, по самому определению произведения двух вещественных чисел, имеем

Пользуясь еще раз тем же определением, получим

Так как для рациональных чисел доказываемое свойство уже известно, то вещественные числа оказываются заключенными между одними и теми же границами:

Но легко показать, что за счет сближения множителей между собой и разность произведений может быть сделана сколь угодно малой (при этом можно использовать подобное же утверждение в 14 относительно произведений двух множителей). Отсюда, по лемме 2, и получится заключение о равенстве чисел

Переход к случаю чисел произвольных знаков производится непосредственно, если учесть лишь «правило знаков». Если же хоть одно из чисел равно 0, то оба произведения обращаются в 0. Обратимся к свойству:

III 4° для каждого вещественного числа отличного от нуля, существует (обратное ему) число удовлетворяющее условию:

Достаточно ограничиться случаем иррационального числа Пусть сначала

Если а определяется сечением , то мы следующим образом построим сечение для числа. К нижнему классу его А мы отнесем все отрицательные рациональные числа и нуль, а также все числа вида , где а - любое число класса А; в верхний же класс А поместим все числа вида где а - любое положительное число класса А. Легко убедиться, что мы, таким образом, действительно получаем сечение, которое определит положительное вещественное (в данном случае - иррациональное) число; это число обозначим

Покажем, что оно удовлетворяет требуемому условию. Если учесть построение обратного числа, то, по самому определению произведения, число есть единственное вещественное число, заключенное между числами вида где - положительные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам Но и число 1 заключено между упомянутыми числами:

следовательно, оно и является искомым произведением.

Если то полагаем

тогда по «правилу знаков»

После того как мы убедились, что и по отношению к умножению область вещественных чисел обладает всеми основными свойствами III 1° - 4°, ясно, что для этой области сохраняет силу все сказанное существовании и единственности частного чисел и условии, что Р 0) и т. д.

Распределительное свойство:

также имеет место для любых вещественных чисел, что легко доказывается для случая положительных чисел (как и свойство III 2°). К этому случаю приводятся все остальные - путем изменения знаков обеих частей равенства или путем переноса членов из одной части в другую. Исключение, впрочем, представляет случай, когда одно из чисел равно нулю; но для этого случая равенство непосредственно очевидно.

Наконец, свойство:

III 6° из и следует

проверяется без труда. Неравенство равносильно тогда по «правилу знаков» и Но умножение имеет распределительное свойство и относительно разности, так что а отсюда .