237. Случай параметрического задания кривой.
Скажем еще несколько слов об особых точках плоских кривых, заданных параметрическими уравнениями
Пусть при 
имеем
но из производных второго порядка 
пусть хоть одна, например 
отлична от нуля.
Проведем секущую через точки 
кривой, отвечающие значениям 
и t параметра. Ее уравнение может быть написано так:
Но по формуле Тейлора [с дополнительным членом в форме Пеано, 124 (10а)], так как 
имеем
где 
стремятся к 0 при 
Подставляя, перепишем уравнение секущей, после сокращения обоих знаменателей на 
в следующем виде:
Здесь можно перейти к пределу при 
и таким путем получается уравнение касательной:
Мы предположили 
пусть, например, 
Тогда функция 
при 
имеет (собственный) минимум [137], т. е. 
при значениях t, близких к 
(как при 
так и при 
Таким образом, в точке 
смыкаются две ветви кривой, отвечающие 
они имеют общую (наклонную или горизонтальную) касательную и обе расположены вправо от вертикали 
Иными словами, налицо точка возврата (рис. 139).
Рис. 139.
Это - основной случай особой точки для кривой, заданной параметрически.
Легко пойти несколько дальше в этом исследовании, чтобы установить, какого рода будет эта точка возврата. С этой целью привлечем третьи производные, и приращения 
напишем в виде
где 
снова стремятся к 0 при 
Вычислим, пользуясь уравнением (19), ординату 
точки касательной с абсциссой 
мы получим
Составим, наконец, разность ординат 
и у, отвечающих одной и той же абсциссе х:
где через у обозначена снова некоторая бесконечно малая при 
Теперь если только хоуо 
(что обыкновенно и выполняется), ясно, что разность 
будет разных знаков при 
, т. е. для тех двух ветвей кривой, которые встречаются в точке 
(в предположении, конечно, что мы ограничиваемся значениями t, достаточно близкими к 
). Ветви располагаются по разные стороны от касательной, и мы устанавливаем точку возврата первого рода.
Примеры подобных особенностей встречались нам уже не раз: циклоида, эпи- или гипоциклоида, эвольвента круга - все имеют такие точки возврата (рис. 118-121).
Может оказаться, в исключительном случае, что 
тогда разложение 
по степеням 
начнется с четвертой или более высокой степени этого двучлена. Если степень эта четная, то рассматриваемая особая точка будет точкой возврата второго рода.
