167. Примеры.

1) Пользуясь теоремой о пределе произведения, прежде всего, легко показать, что

где - любые вещественные, - неотрицательные целые числа. Отсюда, если через обозначить целую рациональную функцию [163]:

по теореме о сумме, получается также

Аналогично для дробной рациональной функции [163]

по теореме о пределе частного,

конечно, лишь при условии, что знаменатель в точке в О не обращается.

2) Рассмотрим степенно-показательную функцию ху при и произвольном у. Тогда, если и - любое вещественное число, будем иметь

Действительно, если взять любые варианты то [ср. 78]

а это - на «языке последовательностей» - и устанавливает требуемый результат.

3) Пусть о вариантах известно, что они имеют пределы, соответственно, а и и ставится вопрос о пределе составленного из них выражения

Для случая так называемых неопределённых выражений, условно характеризуемых символами:

как мы знаем [31, 78], предел может вовсе не существовать, а если существует, то может — при тех же а и — иметь различные значения, в зависимости от частного закона изменения вариант

Если вспомнить определение предела функции двух независимых переменных на «языке последовательностей», то станет ясно, что упомянутые типы «неопределенностей» связаны с фактом несуществования следующих пределов:

4) Поставим вопрос о пределе:

(Функция здесь определена на всей плоскости за исключением именно точки

Если взять две частичные последовательности точек

очевидно, сходящиеся к точке (0, 0), то окажется, что при всех

Отсюда уже следует, что упомянутого предела не существует.

Предлагается аналогично убедиться в том, что не существует предела

5) Наоборот, существует предел

Это сразу вытекает из неравенства

Точно так же доказывается, что и