36. Число е.
Мы используем здесь предельный переход для определения нового, до сих пор не встречавшегося нам числа.
Рассмотрим варианту
и попытаемся применить к ней теорему п° 34.
Так как с возрастанием показателя
основание степени здесь убывает, то «монотонный» характер варианты непосредственно не усматривается. Для того чтобы убедиться в нем, прибегнем к разложению по формуле бинома:
Если от
перейти теперь к
, т. е. увеличить
на единицу, то, прежде всего, добавится новый,
(положительный) член, каждый же из написанных
членов увеличится, ибо
любой множитель в скобках вида
заменится большим множителем
Отсюда и следует, что
т. е. варианта
оказывается возрастающей.
Теперь покажем, что она к тому же ограничена сверху. Опустив в выражении (6) все множители в скобках, мы этим увеличим его, так что
Заменив, далее, каждый множитель в знаменателях дробей (начиная с 3) числом 2, мы еще увеличим полученное выражение, так что, в свою очередь,
Но прогрессия начинающаяся членом имеет сумму
поэтому
, а значит и подавно
Отсюда уже следует, по теореме п° 34, что варианта
имеет конечный предел. По примеру Эйлера
его обозначают всегда буквой е. Это число
имеет исключительную важность как для самого анализа, так и для его приложений. Вот первые 15 знаков его разложения в десятичную дробь:
В следующем п° мы покажем удобный прием для приближенного вычисления числа
, а также попутно установим, что
есть число и
а циональное.
Некоторые свойства числа
которые мы установим впоследствии [54, (13)], делают особенно выгодным выбор именно этого числа в качестве основания для системы логарифмов. Логарифмы по основанию
называются натуральными и обозначаются знаком
без указания основания; в теоретических исследованиях пользуются исключительно натуральными логарифмами.
Упомянем, что обычные, десятичные, логарифмы связаны с натуральными известной формулой:
где М есть модуль перехода и равен
это легко получить, если прологарифмировать по основанию 10 тождество