55. Распространение теории пределов.

Естественно встает вопрос о распространении теории пределов, развитой в главе I (§§ 1 и 2) применительно к случаю варианты, на рассматриваемый здесь общий случай произвольной функции.

Для этого существуют два пути:

I. Прежде всего, можно перефразировать здесь изложенные там рассуждения. Мы для примера фактически выполним это по отношению к предложению 1° в 26.

Рассмотрим функцию заданную в некоторой области X, с точкой сгущения а

1° Если при стремлении х к а функция имеет конечный предел А, и то для достаточно близких к а значений х (отличных от а) и сама функция удовлетворяет неравенству

Выбрав положительное число будем иметь

Но, по определению предела, для этого найдется такое что, лишь только (где х взято из X и отлично от а), тотчас же

Для тех же значений х и подавно будет выполняться (14).

Читатель видит, что никаких новых идей для доказательства привлекать не пришлось.

Отсюда непосредственно могут быть оправданы и утверждения 2°, 3° и 5° из 26. Например, полагая в получим:

2° Если при функция имеет конечный положительный (отрицательный) предел, то и сама функция положительна (отрицательна), по крайней мере, для значений х, достаточно близких к а, но отличных от а.

Справедливо и утверждение, аналогичное 4°, но в более узкой форме:

4° Если при стремлении имеет конечный предел А, то для значений х, достаточно близких функция будет ограниченной:

Напомним, что первоначально и для варианты имеющей конечный предел, неравенство было получено только для но, так как лишь конечное число значений варианты может не удовлетворять этому неравенству, то нетрудно было, увеличив в случае надобности М, добиться выполнения неравенства для всех Здесь же этого, вообще говоря, сделать нельзя, ибо значений х, для которых может оказаться и бесконечное множество.

Например, функция при стремится к единице; очевидно, если однако для всех рассматриваемых значений х функция вовсе не будет ограниченной.

II. Переходя к другим теоремам, в которых переменные связываются знаками равенства, неравенства или арифметических действий, мы, прежде всего, должны оговорить, что, соединяя две или несколько функций (определенных в одной и той же области X) такими знаками, мы всегда подразумеваем, что их значения отвечают одному и тому же значению х.

Все эти теоремы можно было бы доказать аналогичным образом наново, но - и это важно подчеркнуть - на деле нет необходимости их передоказывать. Если, говоря о пределе функции, стоять на «точке зрения последовательностей», то, поскольку для последовательностей теоремы доказаны, они верны и для функций.

Для примера остановимся на теоремах 1°, 2°, 3° из 30:

Пусть в области X (с точкой сгущения а) заданы две функции и при стремлении х к а обе имеют конечные пределы

Тогда и функции

также имеют, конечные пределы (в случае частного — в предположении, что именно

На «языке последовательностей» данные соотношения расшифровываются так: если есть любая последовательность значений х из имеющая пределом а, то

Если к этим двум вариантам применить уже доказанные теоремы, то получаем сразу:

а это (на «языке последовательностей») и выражает именно то, что нужно было доказать.

Таким же образом на общий случай, рассматриваемый нами теперь, автоматически переносится и все сказанное в 31 относительно «неопределенных выражений», условно характеризуемых символами:

Как и в простейшем случае, когда мы имеем дело с функциями натурального аргумента, здесь для «раскрытия неопределенности» уже недостаточно знать лишь пределы функций а нужно учесть и самый закон их изменения.

Читатель легко проверит, что в примерах 4), 5) предыдущего п° мы имели дело с неопределенностью вида и , а в примере 7) — с неопределенностью вида В следующем п° мы приведем дальнейшие примеры, уже с применением простейших теорем теории пределов.

Мы еще вернемся к этому вопросу и в § 4 главы IV, где будут даны общие методы раскрытия неопределенностей уже с применением дифференциального исчисления.