Это простое предложение имеет ряд полезных следствий.
2° Если варианта
стремится к пределу
то и сама переменная
начиная с некоторого места.
Для доказательства достаточно применить предыдущее утверждение, взяв
Можно установить и более точный результат:
3° Если варианта
стремится к пределу а, отличному от нуля, то, по крайней мере, достаточно далекие значения
по абсолютной величине превзойдут некоторое положительное число
Действительно, при а
можно взять
и положить
4° С другой стороны, если варианта
имеет предел а, то она является ограниченной, в том смысле, что все ее значения по абсолютной величине не превосходят некоторой конечной границы:
Возьмем число
так что -
и положим
Найдется такой номер
что для
будет
Это неравенство наверное вьшолняется при
так что ему могут и
удовлетворять лишь первые
значений нашей варианты (или некоторые из них).
Поэтому, если положить М равным наибольшему из чисел
то уже для всех значений
будем иметь:
Замечания. I. Можно дать определение ограниченности переменной
в равносильной форме, потребовав выполнения неравенств
где к и
- два конечных числа. Действительно, из этих неравенств, если положить М равным наибольшему из чисел
следует
обратно, если имеет место последнее неравенство, то оно может быть написано в форме так что -М играет роль
роль
II. Утверждение 4° не может быть обращено: не всякая ограниченная варианта имеет предел. Если положить, например,
то эта варианта, конечно, ограничена:
но предела она не имеет, все время колеблясь от