86. Понятие равномерной непрерывности.

Если функция определена в некотором промежутке X (замкнутом или нет, конечном или бесконечном) и непрерывна в точке этого промежутка, то

или языке для каждого числа найдется такое число что

Предположим теперь, что функция непрерывна во всем промежутке X, т. е. непрерывна в каждой точке этого промежутка. Тогда для каждой точки в отдельности по заданному найдется соответствующее ему в упомянутом выше смысле. При изменении в пределах X, даже еслие неизменно, число вообще говоря, будет меняться. Одного взгляда на рис. 34 достаточно, чтобы убедиться в том, что число 8, пригодное на участке, где функция изменяется медленно (график представляет пологую кривую), может оказаться слишком большим для участка быстрого изменения функции (где график круто поднимается или опускается). Иными словами, число 8 вообще зависит не только от но и от

Рис. 34.

Если бы речь шла о конечном числе значений (при неизменном ), то из конечного числа соответствующих им чисел можно было бы выбрать наименьшее, и это последнее годилось бы, очевидно, и для всех рассматриваемых точек одновременно.

Но по отношению к бесконечному множеству значений содержащихся в промежутке так уже рассуждать нельзя: им (при постоянном соответствует бесконечное множество чисел 8, среди которых могут найтись и сколь угодно малые. Таким образом, по отношению к функции непрерывной в промежутке X, встает

вопрос: существует ли, при заданном такое которое годилось бы для всех точек из этого промежутка

Если для каждого числа найдется такое число что

бы в пределах рассматриваемого промежутка X ни лежали точки то функцию называют равномерно непрерывной в промежутке X.

В этом случае число оказывается зависящим только от и может быть указано до выбора точки годится для всех одновременно.

Равномерная непрерывность означает, что во всех частях промежутка достаточна одна и та же степень близости двух значений аргумента, чтобы добиться заданной степени близости соответствующих значений функции.

Можно показать на примере, что непрерывность функции во всех точках промежутка не влечет необходимо за собой ее равномерной непрерывности в этом промежутке. Пусть, например, для содержащихся между 0 и исключая 0. В этом случае область изменения х есть незамкнутый промежуток и в каждой его точке функция непрерывна. Положим теперь натуральное число); тогда

так что

несмотря на то, что возрастанием может быть сделано сколь угодно малым. Здесь при нельзя найти 8, которое годилось бы одновременно для всех точек хотя для каждого отдельного значения ввиду непрерывности функции, такое существует!

Весьма замечательно, что в замкнутом промежутке аналогичного положения вещей быть уже не может, как явствует из следующей теоремы, принадлежащей Кантору