5. Аксиома Архимеда.

Заключим наш перечень основных свойств рациональных чисел следующим простым и важным утверждением, которое не вытекает из перечисленных свойств:

IV 1° каково бы ни было число существует натуральное число которое больше с («аксиома Архимед а»).

В действительности Архимедом было высказано геометрическое предложение, которое и известно под именем «аксиомы Архимеда»:

если на прямой даны любые два отрезка А и В, то можно А повторить слагаемым столько раз, чтобы сумма была больше В:

Если перефразировать это утверждение для положительных чисел а и то оно сведется к существованию такого натурального числа и, что

Это неравенство, если использовать уже изученные свойства рациональных чисел, оказывается равносильным такому: и обозначив частное через с, мы и получим ту формулировку, которая дана выше.