77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов.

Непрерывность функций многообразно может быть использована при вычислении пределов. Примерам этого рода мы посвящаем настоящий номер.

1) Имеем, при любом вещественном х,

Действительно, рассматриваемое выражение (считая ) можно представить в виде

Так как то варианта в квадратных скобках стремится к (13)], а тогда - ввиду непрерывности степенной функции (здесь - все выражение имеет пределом

2) Найти предел

где суть данные постоянные числа.

Воспользуемся тождеством

куда подставим

Тогда рассматриваемое выражение представится последовательно в виде

При подкоренное выражение стремится к 1, следовательно, сам корень имеет пределом - ввиду непрерывности корня, как частного случая степенной функции. Так как многочлен степени (от корня), стоящий в знаменателе, также есть непрерывная функция, то знаменатель стремится к к, а предел всей дроби будет

3) Вернемся к предложению в . Пусть ; ограничимся пока допущением, что Применим упомянутое предложение к последовательности

Так как (в силу непрерывности логарифмической функции), то

В таком случае - по непрерывности показательной функции -

С помощью пределов 1) и 2), 54, этот результат распространяется и на случай

Таким образом, мы получаем следующее преобразование упомянутого предложения:

Если положительная варианта имеет предел (конечный пли нет), то тот же предел имеет и варианта

4) Применив это предложение к последовательности

придем к интересному следствию:

в предположении лишь, что существует второй из этих пределов.

Найдем для примера предел

Полагая будем иметь

Значит, и искомый предел есть

5) Установим ряд важных пределов, которые понадобятся нам в следующей главе:

Имеем

так как выражение, стоящее справа под знаком логарифма, при стремится к (13)], то (по непрерывности логарифмической функции) его логарифм стремится к

Отметим частный случай доказанной формулы, когда речь идет о натуральном логарифме

В простоте этого результата и коренятся, по существу, те преимущества, которые представляет натуральная система логарифмов.

Обращаясь к формуле положим тогда при (по непрерывности показательной функции) и

Имеем, далее, так что, если воспользоваться уже доказанным результатом:

Если, в частности, взять то получится интересная формула:

Наконец, для доказательства формулы (в), положим при (по непрерывности степенной функции) будет и Логарифмируя равенство получим, что

С помощью этого соотношения преобразуем данное нам выражение так:

По доказанному, оба отношения

стремятся к 1, так что все произведение имеет пределом, ч. и тр. д.

Предел, рассмотренный в 56, 3), получается отсюда, как частный случай, при .