§ 3. Арифметические действия над вещественными числами

12. Определение суммы вещественных чисел.

Обратимся теперь к установлению понятия о действиях над вещественными числами. Греческие буквы в последующем означают именно вещественные числа, как рациональные, так и иррациональные.

Пусть имеем два вещественных числа а и Станем рассматривать рациональные числа а, а и , удовлетворяющие неравенствам:

Суммой чисел а и назовем такое вещественное число - которое содержится между всеми суммами вида а с одной стороны, и всеми суммами вида - с другой.

Удостоверимся, прежде всего, что такое число у существует для любой пары вещественных чисел

Рассмотрим множество всевозможных сумм Это множество ограничено сверху, например, любой суммой вида а Положим же [11]

Тогда и, в то же время, .

Так как, каковы бы ни были рациональные числа удовлетворяющие условиям (1), всегда можно числа увеличить, а числа уменьшить с сохранением этих условий, то в полученных только что неравенствах, соединенных с равенствами, равенства на деле ни в одном случае быть не может. Таким образом, число у удовлетворяет определению суммы.

Возникает, однако, вопрос, однозначно ли сумма определяется неравенствами (2). Для того чтобы убедиться в единственности суммы, подберем, по замечанию в 9, рациональные числа так, чтобы было

где - произвольно малое рациональное положительное число. Отсюда

т. е. и эта разность может быть сделана сколь угодно малой. А тогда, по лемме 2, существует только одно число, содержащееся между суммами

Наконец, заметим, что если числа оба рациональны, то их обычная сумма очевидно, удовлетворяет неравенствам (2). Таким образом, данное выше общее определение суммы двух вещественных чисел не противоречит старому определению суммы двух рациональных чисел.