во всех точках множества
лежащих в достаточно малой сферической окрестности точки
за исключением самой этой точки.
Обозначение предела функции также можно приспособить к этому определению:
Из замечания п° 161 об окрестностях разных типов непосредственно ясна тождественность обоих приведенных определений.
Аналогично устанавливается понятие о бесконечном пределе функции. В случае
или -
неравенство
лишь заменяется, соответственно, неравенством вида
или
где Е есть произвольное наперед взятое положительное число.
Упомянем в заключение о случае, когда некоторые из независимых переменных
стремятся к бесконечным пределам.
Можно было бы распространить понятие точки сгущения
области
и на тот случай, когда все координаты этой точки (или некоторые из них) бесконечны.
Например, точка
является для
точкой сгущения, если в этой области найдутся точки со сколь угодно большими (положительными) координатами.
В этом предположении, говорят, что функция
имеет пределом число А при стремлении всех переменных
если для каждого числа
существует такое число
что
лишь только
В обозначениях:
В частности, возвращаясь к переменной
о которой была речь в конце п° 160, говорят, что эта переменная при безграничном
возрастании обоих номеров тип имеет пределом А, если для каждого
найдется такой номер
что
Записывают это так:
Легко понять, как трактуется случай, когда
или