160. Функции двух переменных и области их определения.

Говоря об изменении двух независимых переменных х и у, мы должны всякий раз указывать, какие пары значений они могут принимать совместно; множество этих пар и будет областью изменения переменных х, у.

Самое определение понятия функции дается в тех же выражениях, что и для случая одной независимой переменной:

Переменная z (с областью изменения называется функцией независимых переменных в множестве если каждой паре их значений из — по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z (из

Здесь имеется в виду однозначная функция; легко распространить это определение и на случай многозначной функции.

Множество о котором выше шла речь, и есть область определения функции. Сами переменные - по отношению к их функции - называются ее аргументами. Функциональная зависимость между z и х, у обозначается, аналогично случаю одной независимой переменной, так:

Если пара взята из то означает то частное (числовое) значение функции которое она принимает, когда

Приведем несколько примеров функций, заданных аналитически - формулам и, с указанием их областей определения. Формулы:

определяют функции для всех пар без исключения. Формулы:

годятся (если мы хотим иметь дело с конечными вещественными значениями лишь для тех пар которые удовлетворяют, соответственно, неравенству

Формулой:

функция определена для тех значений х и у, которые порознь удовлетворяют неравенствам

Во всех этих случаях мы указывали наиболее широкую - естественную - область применения формулы.

Рассмотрим теперь такой пример.

6) Пусть стороны треугольника произвольно изменяются, с тем лишь ограничением, что периметр его сохраняет постоянную величину Если две стороны его обозначить через х и у, то третья сторона будет так что треугольник вполне определяется сторонами х и у. Как зависит от них площадь треугольника?

По формуле Герона эта площадь выразится так:

Что же касается области определения этой функции, то она обусловливается, на этот раз, тем конкретным вопросом, который привел к рассмотрению функции. Так как длина каждой стороны треугольника есть положительное число, меньшее полупериметра, то должны выполняться неравенства

они и характеризуют область

Таким образом, в то время как для функции одной переменной стандартной областью изменения аргумента являлся (конечный или бесконечный) промежуток, в случае функции двух переменных мы уже сталкиваемся с большим разнообразием и сложностью возможных (и естественных) областей изменения аргументов.

Рассмотрение этих областей значительно облегчается их геометрической интерпретацией. Если взять на плоскости две взаимно перпендикулярные оси и обычным образом откладывать на них значения х и у, то, как известно, каждой парой однозначно определяется точка на плоскости, имеющая эти значения своими координатами, и обратно.

Тогда для характеристики тех пар для которых определена функция, проще всего указать, какая фигура на плоскости ху заполняется соответствующими точками.

Так, говорят, что функции 1) и 2) определены во всей плоскости, функции 3) и 4) - в круге, соответственно, замкнутом (т. е. включающем окружность) или открытом (без окружности) (рис. 89); функция 5) определена в прямоугольнике (рис. 90); наконец, функция 6) рассматривается в открытом треугольнике (рис. 91).

Рис. 89.

Рис. 90.

Рис. 91.

Эта геометрическая интерпретация настолько удобна, что обычно самые пары чисел называют «точками», а множество таких «точек», отвечающее тем или иным геометрическим образам, называют по имени этих образов. Так, множество «точек» или пар для которых выполняются неравенства

есть «прямоугольник», измерения которого равны и его будем обозначать символом сходным с обозначением промежутка. Множество «точек» или пар удовлетворяющих неравенству

есть «круг» радиуса с центром в «точке»

Наподобие того, как функция геометрически иллюстрировалась своим графиком [47], можно геометрически истолковать и уравнение Возьмем и пространстве прямоугольную систему координатных осей х, изобразим на плоскости ху область изменения переменных х и у, наконец, в каждой точке этой области восставим перпендикуляр к плоскости ху и отложим на нем значение Геометрическое место полученных таким образом точек и явится своего рода пространственным графиком нашей функции. Это будет, вообще говоря, некоторая поверхность; в свою очередь, равенство называется уравнением поверхности.

Для примера на рис. 92, 93 и 94 изображены геометрические образы функций:

Первый из них представляет собой гиперболический параболоид, второй - параболоид вращения, а третий - полусферу. пробегает натуральный ряд чисел).

Рис. 92.

В заключение упомянем, что иногда приходится рассматривать переменную значения которой занумерованы двумя натуральными значками (каждый из которых, независимо от другого,

Рис. 93.

Рис. 94.

Такая переменная представляет собой, в некотором смысле, обобщение варианты

Можно положить, например,

По сути дела, значки тип следует рассматривать как независимые переменные, а переменную как функцию от них. Область изменения независимых переменных в данном случае геометрически иллюстрируется своеобразной точечной квадратной сеткой в первом координатном угле.