Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4. ВЫБОР БАЗИСА4.1. Выбор последовательности гармоник поляРассмотрим интегральные уравнения, выведенные в гл. 2, для бесконечных решеток из волноводов. Были получены два интегральных уравнения Фредгольма первого рода: одно — для тангенциальной составляющей электрического поля в апертуре решетки, другое — для тангенциальной составляющей магнитного поля. Ядра этих интегральных уравнении состоят из двух бесконечных сумм; одна сумма описывает вклад типов волн в волноводе, другая — вклад периодических пространственных гармоник (гармоник Флоке) во внешнем пространстве. Типы волн в волноводе обычно обозначаются тремя символами; первый указывает тип волны Поскольку при нахождении приближенного решения необходимо взять лишь конечное число уравнений в бесконечной системе, важно так расставить типы волн по порядку, чтобы все существенные из них попали в рассматриваемую конечную систему уравнений. В общем случае не очевидно, какие моды существенны, а какие нет. В задачах анализа ФАР обычно вклад в поле излучения дают низшие типы волн. Из физических соображений следует, что связь между типами волн с близкими по значению достоянными распространения сильнее, чем связь между типами волн с сильно отличающимися постоянными распространения. Поэтому полезно расположить типы волп в порядке возрастания постоянных распространения (по абсолютной величине) в направлении оси Пусть
Заметим, что интегрирование осуществляется в пределах апертуры А и уравнение справедливо только в апертуре волновода. В этом отличие от интегрального уравнения для магнитного поля, которое справедливо на всей едипичной ячейке решетки. С помощью метода моментов от интегрального уравнения можно перейти к системе линейных алгебраических уравнений [8, 9). Хотя выбор системы базисных функций произволен, при разумном выборе базиса можно получить ряд преимуществ. В случае уравнения (22) выбор в качестве базиса системы волн в волноводе особенно предпочтителен по двум причинам. Во-первых, эта система функций удовлетворяет граничным условиям для Пусть
Штрихи обозначают приближенные значения амплитуд типов волн в волноводе. Подставляя выражение (23) в уравнение (22) и вычисляя моменты функций
В этих уравнениях
где — символ Кропекера, равный 1 при
называются коэффициентами связи между гармониками. Эти коэффициенты отличаются от коэффициентов связи между элементами решетки. Выражение (24) представляет собой систему из Можно видеть, что модальные проводимости для внутренней области (волноводов) появляются только в диагональных элементах Удобно записать уравнения (24) в матричной форме
где
Решение уравнения (25), полученное методом обращения матрицы, имеет вид
где
Коэффициенты передачи в другие типы волн в волноводе после соответствующей нормировки (матрица рассеяния унитарна при отсутствии потерь) вычисляются по формуле
Для вычисления коэффициента передачи в свободное пространство используем условие непрерывности тангенциальной составляющей поля в апертуре А
Знак приближенного равенства используется потому, что для описания поля берется конечное число типов волн. Из ортонормироваености системы функций получаем
Таким образом, пормированный коэффициент передачи в пространственную гармонику с номером
Так как только распространяющиеся типы воли в свободном пространстве могут переносить энергию в дальнюю зону, лишь эти пространственные гармоники важны для изучения свойств ФАР. Для вычисления амплитуд этих гармоник можно воспользоваться формулой (29) при достаточно больших значениях N. Интегральное уравнение для приемной
С помощью описанного выше приема уравнение (31) можно преобразовать в систему линейных алгебраических уравнений
или в матричной форме
где
Заметим, что изменение падающей волны меняет только свободный член уравнения. Ядро уравнения полностью определяется геометрией системы и не зависит от падающей волны. Решение уравнения (32а) можно формально записать в виде
или через компоненты
Коэффициент отражения пространственной гармоники
Коэффициенты передачи определяются по формулам, аналогичным формулам (27а) и (30). Теперь рассмотрим интегральное уравнение для тангенциальной составляющей магнитного поля (вывод см. в гл. 2), Сначала возьмем случай, когда ФАР работает в режиме передачи. Интегральное уравнение будет иметь вид
Это уравнение отличается от уравнения (22). В ядре присутствуют модальные сопротивления вместо проводимостей, что изменяет сходимость ряда. Кроме того, область интегрирования простирается на всю единичную ячейку решетки в отличие от области в уравнении (22), охватывающей только раскрыв волновода. Для сведения уравнения (35) к системе линейных алгебраических уравнений положим
В качестве базиса взяты функции Подставляя выражение (30) в уравнепие (35) и вычасляя моменты относительно функций
где
с коэффициентами коэффициентов связи между гармониками. Напомним, что в уравнениях для электрического поля в элементы матрицы входили модальные проводимости. Важно, отметить, что модальные сопротивления внешнего пространства присутствуют только в диагональных элементах матрицы, а модальные сопротивления внутренней области — во всех элементах. Обращая матрицу системы (37), найдем амплитуды пространственных гармоник (модальные токи) тангенциального магнитного поля. Амплитуды типов волн в волноводе можно определить из условия непрерывности [выражение, аналогичное формуле (28)]. В результате получим
После вычисления амплитуд гармоник можно найти коэффициенты отражения и передачи. Элементы матрицы выражений (24а) и (37а) содержат бесконечные суммы, получающиеся из произведений модальных проводимостей (или сопротивлений) и коэффициентов связи между гармониками. Можно показать, что эти суммы являются сходящимися рядами по крайней мере для решеток из прямоугольных и круглых волноводов, для которых известны выражения для Если раскрыв волновода и единичная ячейка имеют существенно различные площади, число используемых гармоник в каждой из областей сильно зависит от геометрических факторов. Интересно отметить, что при использовании конечного числа гармоник, папример матричными элементами (24а), суммируемыми до
|
1 |
Оглавление
|