1. АПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ И МОДУЛИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Хотя в данной книге рассмотрены наиболее подробно периодические фазированные решетки, некоторые виды апериодических решеток также представляют большой интерес. В качестве примера можно привести бесконечную периодическую решетку, в которой несколько элементов являются короткозамкнутыми или имеют импедансы, отличающиеся от характеристических. Такой режим может случайно возникнуть из-за отказа диода или других компонентов в фидерной системе решетки. В некоторых случаях апериодическим расположением элементов в решетке устраняют дополнительные главные лепестки и поверхностные волны [2]. Эти вопросы рассмотрены ниже.

Представляет также интерес случай возбуждения только конечной группы элементов в бесконечной периодической решетке. Оставшиеся элементы могут быть нагружены на любой импеданс, включая нулевой (короткое замыкание). (Антенна, в которой оставшиеся элементы нагружены на свои характеристические сопротивления, рассмотрена в гл. 4.) Действительно, оставшиеся элементы (бесконечное число) могут быть нагружены на импедансы, меняющиеся от элемента к элементу любым образом, при условии, что элементы, асимптотически удаленные от конечной группы возбуждаемых элементов, характеризуются периодическим изменением импеданса нагрузки от элемента к элемепту. Такую структуру мы называем модулированной поверхностью. Интерес к этому случаю обусловлен, во-первых, тем, что здесь имеется краевой эффект в небольшой конечной решетке (в составе бесконечной модулированной поверхности), и, во-вторых, тем, что решение этой задачи приводит к решению задачи о распространении поверхностных волн на модулированной ребристой поверхности.

1.1. Решение для апериодической решетки общего вида

Произвольную апериодическую решетку (рис. 8.1) можно получить из бесконечной решетки с идентичными элементами, вводя короткозамыкатели в элементы в соответствии с апериодическим законом. (Можпо допустить также апериодическую произвольную нагрузку элементов. Но для упрощения последующего анализа мы примем идеальные короткозамыкатели. В дальнейшем полученные результаты обобщаются на случай произвольной нагрузки.) Расстояние от раскрыва до короткозамыкателя не обязательно должно быть фиксировано. Оно может изменяться от элемента к элементу и представлять собой функцию Однако при большом удалении (рис. 8.1) от единственного

возбуждаемого элемента очень велико) решетка должна быть периодической.

Рис. 8.1. Схема апериодической решетки. постояппая распространения основного типа волны в волноводе.

При этом возможна либо периодическая модуляция расстояния до короткозамыкателя число короткозамкнутых элементов, равное либо элементы решетки могут быть нагружены на свои характеристические сопротивления число нагруженных элементов, равное

Рис. 8.2. Схема периодической ФАР.

Обе поставленные выше задачи впервые были решены для конкретной решетки из тонкостенных параллельных пластин методом Винера — Хопфа в работе 13]. Из результатов этой работы следует, что решение можно найти, суммируя решения задачи о периодической ФАР (рис. 8.2). Этот способ решения

является более общим, так как он позволяет обобщить полученные результаты на решетки из элементов любого типа. Кроме того, с его помощью можно вывести упомянутое выше дисперсионное уравнение. Решение этим способом рассмотрено ниже.

Проанализируем сначала случай Случай [т. е. когда при больших (рис. 8.2) расстояние до короткозамыкателя в волноводах периодически изменяется с увеличением приводит к решению дисперсионного уравнения для периодически модулированной поверхности.

1.1.1. Случай конечного числа короткозамкнутых элементов.

Пусть в решетке (рис. 8.1) возбуждается только один элемент, причем комплексная амплитуда возбуждения равна (нижний индекс указывает на основной тип волны, а верхний — на положение волновода в решетке). Расстояние до короткозамыкателя предполагается достаточно большим, чтобы все затухающие волны, возбужденные в раскрыве не достигали короткозамыкателя. На практике отражение конечного числа затухающих волн от короткозамыкателя (или любой нагрузки волновода) можно учесть [1, 3]. Этот вопрос обсуждается в приложении 1. Положение короткозамыкателя может меняться от элемента к элементу. Коэффициенты представляют собой коэффициенты взаимной связи (для основного типа волны и элемента) при наличии короткозамыкателя. Коэффициенты взаимной связи для периодической ФАР (рис. 8.2) определяются в отсутствие коротко-замыкателей. Так, например, обозначает наведенную в (удаленном от возбуждаемого) волноводе на -ом типе волны.

Принятые обозначения и приведенные на рисунках схемы означают, что анализ проводится для линейной решетки. Результаты справедливы, однако, и для плоских решеток (обобщение см. в приложении 2).

Основная задача, следовательно, состоит в том, чтобы определить если конечно и положительно и решение для (коэффициента отражения периодической известно (здесь управляющая фаза). Коэффициенты взаимной связи определяются следующим выражением [4, 5):

Для случая (апериодическая решетка на рис. 8.1.) можно использовать коэффициенты связи периодической ФАР и просуммировать вклады веех волн, падающих на раскрывы и связанных с одним волноводом (например, волноводом с индексом и волной, распространяющейся в этом волноводе.

В некороткозамкнутых волноводах распространяются волны

с коэффициентами а в короткозамкнутых — волны с коэффициентами

где постоянная распространения основного типа волн — имеет чисто мнимую величину. Таким образом,

и

Так как уравнение (26) содержит конечное число неизвестных то, считая Со известными, уравнение можно решить, обратив матрицу порядка относительно неизвестных; записанную через Уравнение (2а) используется для определения остальных при

Аналогично определяются из решения уравнения для периодической ФАР [5, 6] коэффициенты высших типов волн (затухающих). Если обозначить через коэффициенты высших типов волн в периодической ФАР, то коэффициенты связи высших типов волн определяются выражением

Так же как и для для можно написать систему линейных уравнений (при конечном Таким образом, полное решение уравнения для периодической ФАР [при условии, что все известны] можно использовать для нахождения полного решения граничной задачи для апериодической решетки. Ниже показано, что этот вывод справедлив и для

Напомним, что, поскольку (или для больших и волноводы нагружены на свои характеристические сопротивления, асимптотическое поведение в области должно быть одинаковым. В предыдущих главах указывалось, что для линейной решетки [6] коэффициенты [а теперь также и убывают пропорционально где расстояние от возбуждаемого элемента; для плоской решетки [7] спад происходит пропорционально что вытекает из физических соображений и, кроме того, может быть показано с помощью выражений (2).

1.1.2. Случай бесконечно большого числа короткозамкнутых элементов.

Рассмотрим случай, когда число короткозамкнутых

волноводов бесконечно велико. Необходимо предположить, что расстояние до короткозамыкателя в решетке (рис. 8.1), во крайней мере при больших представляет собой периодическую функцию Для простоты мы будем считать, что эта периодичность сохраняется для всех волноводов (т. е. при всех хотя такое условие не обязательно.

Решение задачи в случае конечного и бесконечного нельзя непосредственно получить из выражений (2), так как система линейных уравнений для становится бесконечной и трудно говорить о ее решении. Воспользуемся несколько отличным подходом, основанным на периодических свойствах коэффициентов отражения решетки. Если уравнения (2) умножить на применить обратное преобразование Фурье для выражения (1)

и учесть, что

(т. е. сумма чисел волноводов равна полному бесконечному числу волноводов в решетке), то можно непосредственно из выражения (1) получить следующее выражение:

Подобный результат был первоначально получен Ли для решеток из тонкостенных параллельных пластин. Одпако из приведенного здесь вывода следует, что данный результат применим для волновых элементов любого типа. Этот результат имеет еще большую общность, так как положение короткозамыкателя (или импеданса нагрузки) может быть произвольной функцией (индекса волновода). Наконец из найденного выражения можно получить решение для случая

В качестве примера рассмотрим решетку, в которой т. е. константа, не зависящая от индекса волновода. Тогда множитель также зависит от и его можно вынести за знак суммы в выражении (6)

Разделим это выражение на умножим на и проинтегрируем в пределах от до

Из условия ортогональности

Следовательно, можно исключить член, содержащий бесконечную сумму получить для

и для

Уравнение (7а) можно решать как систему линейных уравнений порядка относительно для Для можно затем решить уравнение (76), поскольку суммирование в этом уравнении проводится после того, как найдены С (для из уравнения (7а).

Очевидно, что делить уравнение (7) на множитель можно только тогда, когда

при любых значениях в области Однако эта особенность является интегрируемой до и можно показать, что она определяет асимптотическое поведение и С при больших [3, 6, 7] (см. также разд. 2.2.3 данной главы).

Приравняв левую часть выражения (8) нулю, подучим решение характеристического уравнения для ребристой поверхности из волноводных элементов, короткозамкпутых на расстоянии от раскрыва. Это соответствует (рис. 8.1.) фактически возбуждению поверхностной волны в периодической структуре с короткозамкнутыми элементами, т. е. полному отражению (аномальному) [8, 9]. Отметим, что или (полное отражение) удовлетворяет выражению (8), если его правая часть равна нулю.

Следовательно, если в фазированной решетке наблюдается полное отражение, так что короткозамыкатели можно поместить на расстояниях целое число) и найти решение типа поверхностной волны в однородной задаче о ребристой поверхности [8—10].

Если произвольная периодическая функция та (не постоянная), то все можно вынести соответствующую функцию за знак бесконечной суммы и получить общее решение для случая Процесс вынесения за знак бесконечной суммы (в результате которого получается матрица порядка в принципе прост, однако это не совсем обычная операция факторизации. Алгебраическая сложность ее возрастает с увеличением числа волноводных элементов.

Рассмотрим, например, случай, когда

Это соответствует модулированной поверхности, рассматривавшейся в работах [11,12], где решетка представляет собой набор параллельных пластин. Пусть для если четное число и если нечетное. Кроме того, определим Тогда выражение (6) можно написать дважды (для и для и получить системунезависимых линейных уравнений

Из этих уравнений можно определить

а затем найти При этом мы получаем уравнение для определителя

которое идентично характеристическому уравнению для модулированной ребристой поверхности.

Ниже показано, что если этот определитель при некоторых значениях обращается в нуль, то вдоль ребристой поверхности возбуждается поверхностная волна. Уравнение (11) фактически совпадает с уравнением, полученным в работах хотя в этих работах оно выводилось для решетки из тонкостенных параллельных пластин. В выражении (11) мы обобщили характеристическое уравнение — на случай любой решетки независимо от ее геометрии. Функциональную зависимость можно определить аналитически или экспериментально.

1.1.3. Дисперсионное уравнение для обобщенной модулированной поверхности и произвольных импедансов нагрузки.

Используя метод индукции, можно (см. приложение 3) получить общее дисперсионное уравнение для произвольной периодически модулированной поверхности. Если положение короткозамыкателя представляет собой асимптотически периодическую функцию (т. е. периодическую вдали от возбуждаемого элемента или элементов) по элементам, то так же, как и в разд. найдем, что определитель соответствующей системы линейных уравнений имеет вид

где номер строки элемента матрицы номер столбца элемента матрицы порядок определителя, периодичность и число линейных уравнений; Если определитель приравнять нулю, то получим дисперсионное уравнение для периодической произвольно модулированной поверхности. Если

для некоторых действительных значений в области то это означает, что вдоль модулированной поверхности распространяется поверхностная волна. Если короткозамыкатели заменить нагрузками с произвольными имнедансами, характеризуемыми комплексными коэффициентами отражения отнесенными к расстоянию обобщенное выражение для

определителя примет вид

Предположение о произвольном импедансе нагрузки или о произвольном коэффициенте отражения можно было бы сделать и в начале анализа, что лишь незначительно усложнило бы математические выкладки.

Включение в анализ величины для которой допускается возможность ириводит к некоторым интереспым следствиям. Можно ожидать, что если (для любых в периодических волноводах асимптотической области), то поверхностная волна будет затухающей при возбуждении конечного числа волноводов (этот случай отличен от случая фазированной антенной решетки, в которой возбуждается бесконечное число волноводов). В качестве примера рассмотрим случай, когда т. е.

Произведение никогда не достигает 1, если [даже когда при некоторых значениях происходит полное отражение, т. е. Следовательно, в данном случае для любого и поверхностные волны не возбуждаются. Отметим, что и в том случае, когда

можно решить уравнение относительно . Так, например, при можно проинтегрировать

даже при равенстве нулю выражения — Нуль этого выражения соответствует возникновению поверхностной волны и не будут асимптотически затухать с ростом Этот вопрос обсуждаотся в одном из следующих разделов.