4.5. Использование предварительных сведений о решении

Как уже указывалось, при выборе базиса в методе моментов желательно максимально учесть заранее известные сведения о решении. Такой предварительной информацией для тангенциальных полей в апертуре может быть их изменение вблизи кромки волновода или их асимптотическое поведение относительно некоторого параметра.

Граничное условие автоматически удовлетворяется в апертуре, если в качестве базиса используется система типов волн в волноводе. Если имеются острые кромки, нормальные (к кромке) составляющие электрического и магнитного поля имеют особенности вблизи кромки (являются сингулярными функциями). Ряд Фурье для сингулярной функции обычно плохо сходится. Другими словами, конечное число членов ряда дает очень неточное представление сингулярной функции. Для улучшения сходимости можно записать неизвестное поле в виде суммы регулярной и сингулярной частей [17—18]. Сипгулярная часть представляет собой функциональную зависимость, описывающую сингулярное поведение вблизи кромок, с одним или несколькими неизвестными коэффициентами. Регулярная часть является гладкой функцией, для которой требуется небольшое число членов ряда Фурье. При заданной погрешности таким путем можно значительно уменьшить необходимое число членов в представлении решения.

В качестве примера рассмотрим использование этого подхода к решению задачи о решетке, изображенной на рис. 3.4. Предположим, что волноводы возбуждаются ТЕМ волнами и решетка сканирует в плоскости Задача ставится так, что неизвестной функцией является поле которое имеет особенности вида при

Рис. 3.4. Решетка из волноводов с острыми кромками.

Для выделения сингулярной части запишем поле в апертуре в виде

где неизвестные коэффициенты, а гладкая функция, можно аппроксимировать конечной суммой волноводных мод Таким образом,

Это выражение подставляем в интегральное уравненио и вычисляем моменты для получения системы линейных алгебраических уравнений. При этом интегрирование первых двух слагаемых в выражении (52а) вместе с ядром интегрального уравнения чаще всего проводится численно. Поскольку третье слагаемое является разложением гладкой функции, может потребоваться немного членов этого разложения. В результате можно получить хорошие результаты при значительно меньшем числе учитываемых гармоник, чем при решении без выделения сингулярной части. Однако вычисление элементов матрицы может вызвать болыно трудностей, так как при использовании выражения (52а) необходимо выполнять численное интегрирование. Это обстоятельство необходимо взвесить по отношению к сокращению размера матрицы для сравнения двух изложенных нами возможностей.