7. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЗАИМНОЙ СВЯЗИ

Как видно из уравнения (31), коэффициент взаимной связи между элементом с индексом и элементом с индексом является коэффициентом с индексом в разложении коэффициента отражения в ряд Фурье. Из теории рядов Фурье известно, что поведение коэффициентов разложения некоторой функции в ряд Фурье определяется свойствами этой функции, ее непрерывностью и дифференцируемостью. Первая производная от коэффициента отражения решетки имеет особенность при значении управляющей фазы, соответствующем скользящему вдоль поверхности решетки положению луча. Порядок этой особенности определяет скорость уменьшения коэффициентов взаимной связи при увеличении расстояния между элементами. Проанализируем для иллюстрации случай сканирования в квази--плоскости. При сканировании и -плоекости анализ проводится аналогичным образом.

(кликните для просмотра скана)

Из анализа выражения (25) следует, что коэффициент отражения является непрерывной функцией управляющей фазы Это видно также из рис. 4.4. Найдем особенность первой производной коэффициента отражения Для этого представим в виде

и продифференцируем по переменной

Так как коэффициент отражения имеет различные выражения, то мы должны использовать соответствующее выражение в каждом интервале для разных интервалов сканирования, в интервале где имеем

и

где символ означает, что из суммы исключен член с нулевым индексом. Для интервала получаем

В выражениях и (35) от управляющей фазы зависят только постоянные распространения Постоянная распространения нулевого порядка обращается в нуль на границе меяеду областями распространения и затухания [при расстояниях между элементами, удовлетворяющих условию Подставляя правые части соотношений (34) а (35) в выражения (33) находим, что производная имеет особенность так как величина оказывается в знаменателе. Если приближается к величине слева, то особенностью обладает модуль функции а если приближается к справа, то

особенностью обладает фаза производной коэффициента отражения. Такой вид особенности является типичным для случаев, когда луч уходит из области действительного пространства. Если при возрастании управляющей фазы луч появляется в области действительного пространства, как это имеет место для сканирования в -плоскости, особенность функции проявляется в обратном порядке. Эта закономерность носит общий характер, что будет подтверждено в дальнейшем при обсуягдении свойств других типов антенных решеток

Особенность производной коэффициента отражения имеет вид

где

Именно такое поведение функции определяет Характер асимптотического убывания коэффициентов взаимной связи. Чтобы убедиться в этом, вычислим интеграл в выражении (31) по частям, приняв во внимание, что коэффициент отражения является четной функцией от переменной В результате получаем

Так как являются непрерывными функциями от переменной в интервале а выражения непрерывны в интервале то при больших значениях индекса можно написать

В этом выражении опущены слагаемые, имеющие ограниченную вариацию вследствие непрерывности. Их вклад в при больших является бесконечно малой величиной второго порядка [8]. Первый интеграл в выражении (36) можно преобразовать к виду

В выражении (37) особенность имеется только во втором члене. Подынтегральное выражение в первом слагаемом является непрерывной функцией, поэтому вклад этого члена — бесконечно малая величина второго порядка Таким образом,

где

Второй интеграл в выражении (36) вычисляется аналогично:

Таким образом, для больших значений коэффициент связи С имеет вид

Используя асимптотические представления для функций справедливые для больших значений получаем

Из этого выражения видно, что для больших расстояний между элементами модуль коэффициента взаимной связи при учете основного типа колебаний пропорционален расстоянию в степени 3/2, а фаза коэффициента определяется скоростью распространения основного типа волны в свободном пространстве.

Приведенный выше анализ можно распространить на случай взаимодействия элементов с учетом высших типов волп. Исследование связи элемента, возбужденного основным типом волны и расположенного в начале координат с элементом при учете -го типа колебаний показывает, что асимптотическое поведение соответствующего коэффициента связи зависит только от множителя Поэтому зависимость коэффициента взаимной связи от расстояния и в этом случае оказывается такой же, как

и зависимость коэффициента связи при учете только основного типа колебаний. Поскольку коэффициенты связи при учете всех типов волн имеют одинаковое асимптотическое поведение, поле в раскрыве должно иметь такую же асимптотическую зависимость от расстояния.

Найденная асимптотическая зависимость коэффициентов связи от расстояния является, по-видимому, общим свойством всех ФАР. Такая зависимость остается справедливой даже в том случав, когда антенная решетка находится в пространстве, заполненном анизотропной плазмой (разд. 10). Более того, асимптотическое поведение коэффициентов взаимной связи между элементами в антенной решетке оказывается подобным поведению полей на границе раздела между диэлектрической средой с потерями и свободным пространством, возбуждаемой линейным магнитным источником [10]. Такое подобие указывает на аналогию раскрыва антенной решетки и плоской поверхности с потерями.

Общий характер рассмотренной зависимости и ее геометрическая экстраполяция на случай плоской (двумерной) антенной решетки позволяют предположить, что коэффициенты взаимной связи для плоской решетки должны быть пропорциональными величине где расстояние от возбужденного элемента. Более подробный анализ взаимной связи между элементами для широкого класса плоских антенных решеток дан в гл. 7.