4.4. Кусочно-гладкий базис

При использовании модальных функций в качестве базиса в методе моментов предполагалось, что каждая такая функция определена на всей апертуре волновода или на всей единичной ячейке. Теперь рассмотрим базис, состоящий из функций другого вида.

Перепишем интегральное уравнение для электрического поля (22) в виде

Предположим, что поперечное сечение волновода разбито на подобласти, или участки (14,15]. Такое разбиение можно провести многими способами. Довольно простой способ разбиения с помощью линий, параллельных осям декартовых координат, показан на

рис. 3.3. Если максимальный линейный размер участка мал по сравнению с длиной волны в волноводе, можно ожидать, что иоле в пределах каждого участка остается почти постоянным. Следовательно, для описания поля внутри каждого участка требуется один комплексный вектор (этот вектор пока не известен), за исключением участков на краях апертуры волновода, в которых поле может иметь сингулярности, на небольших интервалах возможны быстрые изменения поля. Для учета этих эффектов необходимы особые приемы, которые рассмотрены ниже.

Введем систему функций

Рис. 3.3. Разбиение апертуры круглого волновода на участки.

Пусть комплексный вектор, описывающий поле на участке Тогда неизвестная тангенциальная составляющая электрического поля может быть записана в виде

Подставляя это выражение в уравнение (22) и учитывая, что векторные константы, найдем

где область интегрирования уменьшается от А до по определению (46). Теперь уравнение удовлетворяется только приближенно, но точность приближения улучшается при разбиении апертуры на все более мелкие участки. Следующий шаг состоит в вычислении моментов в выражении (48) с использованием подходящей системы функций. В качестве такой системы функций можно взять ту же систему (46). Тогда, умножая уравнение (48) на и интегрируя в пределах А, получим систему уравнений

где

Из-за векторного характера неизвестных величин (у каждого имеются две компоненты) система уравнений (49) содержит уравнений и неизвестных и может быть решена обычным способом, например обращением матрицы.

Другой путь сведения функционального уравнения (48) к системе линейных уравнений заключается в том, чтобы равенство выполнялось в точках, каждая из которых лежит внутри одного участка. Таким образом, считая, что потребуем, чтобы выполнялись равенства

Этот шаг эквивалентен выбору системы дельта-функций в качестве весовых функций. Процедура приравнивания обеих частей уравнения (48) в выбранном числе точек называется методом согласования в точках (методом коллокации). Нетрудно показать, что, поступая таким образом, мы выполняем граничные условия в конечном числе точек апертуры. При вычислении элементов матрицы по методу коллокации число операций интегрирования уменьшается на единицу по сравнению с вычислением, использующим функции (46) в качестве весовых. В задачах об излучении решетки во внешней области это различие может быть существенным, так как ядра интегральных уравнений для таких задач обычно не интегрируются в замкнутой форме. Это заставляет обращаться к численным методам при нахождении элементов матрицы.

При вычисления элементов матрицы модальные функции интегрируются в пределах участка, В случае прямоугольного волновода это осуществляется довольно просто, так как используются только тригонометрические функции. Однако в других случаях, например для круглого волновода, когда используются цилиндрические функции, численное интегрирование представляет значительные трудности. Другим важным аспектом численных методов является сходимость рядов для каждого элемента матрицы. Модальные проводимости и сопротивления увеличиваются с ростом индекса для одного типа волн и убывают для другого типа волн. Если в задаче фигурирует только один тип волны, можно выбрать уравнение для электрического или магнитного поля, чтобы добиться сходимости рядов. Если же

присутствуют оба типа волп, использование любого из двух уравнений не решает проблемы сходимости. Частные случаи рассмотрены в гл. 5.

Приближение, полученное в уравнении (48) за счет базисных функций (46), эквивалентно замене интеграла его римаповой суммой. Существуют и другие способы вычисления интегралов, среди которых наиболее известны метод трапеций, метод Симпсона и квадратуры Гаусса. Преимущества каждого метода рассмотрены в работе [161. В общем случае эти методы численного интегрирования можно интерпретировать как использование определенных весовых коэффициентов на различных участках. Пусть коэффициенты, определяемые тем или иным методом интегрирования. Тогда вместо уравнения (48) можно записать

Сведение уравнения (61) к системе линейных алгебраических уравнений осуществляется описанным выше способом,