1.2. Приближенные методы решения и способы проверки точности

Наиболее распространенными приближенными методами решения уравнений (17) и (19) являются метод Галоркипа и метод Рица (см. гл. 3). Эти методы были впервые использованы Примичем [2] для решения задачи при (случай излучения по нормали). Примич решил эту задачу вариационным методом, а не методом моментов (см. гл. 2 и 3 и работу [3]). Решение задачи для

излучения по нормали представляющее самостоятельный интерес при проектировании ФАР, было обобщено для случая произвольных углов сканирования (включая и мнимую область) в работе 14], результаты которой оказались полезными для исследования и проектирования ФАР.

Результаты решения задачи, полученные в работах 12, 4], При (излучение по нормали) оказались идентичными. Таким образом, эти независимо полученные результаты можно использовать в качестве критерия точности приближенных решений.

Другое, полученное независимо и математически изящное приближенное решение задачи при описано в работе [5). Оно совпадает с решениями, найденными в работах [2, 4], хотя для решения задачи был использован совсем другой метод. В его основе лежит метод возмущений, примененный к исходному решению задачи для решетки из волноводов с бесконечно тонкими стенками. Полученные в данной работе результаты оказались довольно точными даже для случаев значительной толщины стенок волноводов. Напомним (см. гл. 4), что аналитическое решение задачи для случая волноводов с бесконечно тонкими стенками становится возможным благодаря тому, что бесконечная система уравнений (24) в гл. 4, получаемая при решении интегрального уравнения, может быть представлена в виде

где коэффициенты связаны с коэффициентами определяемыми выражением (6). При толщине стенок, пропорциональной параметру возмущения можно получить 15] систему уравнений, аналогичную системе (21)

Данную систему уравнений для возмущенной задачи можно решить приближенно модифицированным методом вычетов или аналитически.

Третье приближенное решение задачи для решетки из толстых параллельных пластин предложили Ван Бларикум и Миттра [13). Решение было получено по существу также методом возмущений и представлено в виде ряда Неймана (см. гл. 3). Авторы назвал» свой метод решения «подходом на основе обобщенной матрицы рассеяния». Эта матрица учитывает как распространяющиеся волны, так и затухающие.

Использованный метод решения обладает двумя особенностями. Во-первых, позволяет в задаче о параллельных пластинах рассмотреть все углы сканирования, так как сходимость ряда Неймана была доказана в работе 114]. Во-вторых, в качестве исходных предпосылок в работе [13] используются результаты известных решений двух вспомогательных задач (рис. 5.2): задачи об излучении антенной решетки с бесконечно тонкими степками (задача решается точно методом вычетов) и задачи о ступеньке в волноводе Вторая задача имеет несколько приближенных решений. Ван Бларикум и Миттра воспользовались результатами приближенного решения этой задачи модифицированным методом вычетов. Если О (рис. 5.2), совокупность вспомогательных решений, представленных с помощью ряда Неймана, дает решение задачи для случая волноводов со стенками конечной толщины и сканирования в -шлп -плоскости. Численные решения в работе [13] совпадают с решениями в работе [4].

Рис. 5.2. Вспомогательные задачи для определения обобщенной матрицы рассеяния решетки из толстых параллельных пластин.

Первым шагом решения уравнений (17) и (19) методом Галеркина или методом моментов (см. гл. 3) является представление неизвестного поля в некотором базисе функций, который является полным на заданном интервала. Например, для представления поля в уравнении (19) можно использовать базис функций который, как нам известно, является полным на интервале Скорость сходимости представления неизвестного поля определяется выбранными базисными функциями. Если для представления неизвестного поля в уравнении (19) выбрана ортогональная система функций такая, что

и если уравнение (19) решается методом моментов (причем моменты берутся в том же базисе), то мерой точности приближенного решения, записанного в виде

может служить скорость сходимости этого решения. В пределе при коэффициенты должны стать равными коэффициентами Примеры такой сходимости при возрастании приведены ниже для конкретного базиса.

Сходимость рядов (23) и (24) зависит не только от выбора базиса, но также и от особенностей поведения поля Асимптотическое поведение коэффициентов при больших в выражении (23) зависит, например, от особенностей функции распределения поля [7]. Особенности поля известны для решеток из параллельных пластин и прямоугольных волноводов. Хорошо известно что вблизи ребер при нормальная (к ребрам) компонента электрического поля изменяется по закону

при для тонкой стенки и по закону

при для прямого двугранного угла (случай толстых стеиок). В случае тонких степок представление поля через функции

имеет коэффициенты, асимптотически убывающие по закону [81

где К — константа, не зависящая от

Как видно из выражений (25) и (26), предварительное знание особенностей поля в раскрыве (или его производных, если это поле непрерывно) позволяет определить асимптотическое поведение коэффициентов в любом заданном представлении этого поля. Подобная информация может быть использована при решении задачи методом моментов или методом Галеркина с помощью метода предсказания асимптотики [10]. Например, выражение (25) можно записать в виде

Отметим, что в пределе при

В выражении (27) содержится неизвестных коэффициентов, которые можно определить при решении интегрального уравнения (19) методом моментов. При том же числе неизвестных можно было бы воспользоваться приближением

Однако это приближение не содержит в явном виде особенности поля вблизи ребер, включение которых в представление поля приводит в общем случае к более точным результатам [10).

Следует отметить, что функция

является ортогональной по отношению к функциям Очень часто такой ряд, имеющий особенность при определенном значении (или значениях) у, можно представить в замкнутой форме, если суммирование осуществляется от до Примером является квазистатическое приближение для ядер уравнений (17) и (19). В гл. 3 показано, что процедура подстановки приближенных выражений для [таких, как выражения (27) или (29)] в уравнение (19) с последующим вычислением моментов эквивалентна аппроксимации ядра уравнения (19) в подпространстве, образованном конечным базисом [11]

Квазистатическая аппроксимация ядра интегрального уравнения заключается в том, что особенность ядра при выделяется в замкнутой форме. Такая аппроксимация имеет много общего с только что рассмотренным методом предсказания асимптотики. Рассмотрим квазистатическое представление ядра в уравнении (19) для случая волноводов с бесконечно тонкими стенками, полагая (рис. 5.1, 6).

Обратимся сначала к части ядра в уравнении (19), связанной с представлением поля во внутренней (волноводной) области

где функции имеют вид

Данное представление для функций учитывает сдвиг начала координат (рис. 5.3) в точку, находящуюся на ребре волновода. С учетом этого сдвига выражения (18) и (30а) описывают одни и те же функции. Кроме того, для простоты будем рассматривать случай сканирования в -плоскости антенной решетки из

.параллельных пластин, полагая При этом волновые проводимости для внутренней области имеют вид

При квазистатической аппроксимации в выражении (30) полагаем

Термин «квазистатический» обусловлен предположением, что

которое справедливо, в частности, при больших значениях длины волны

Рис. 5.3. Сдвиг начала координат,

Учитывая условие (31), можно написать

где члены ряда при убывают по закону

Следовательно, этот ряд не имеет особенностей [7). Другой ряд в выражении (32) можно просуммировать и представить в замкнутой форме [12]:

Итак, функция содержит мнимое слагаемое с логарифмической особенностью. Для части ядра интегрального уравнения (19), связанной с представлением поля во внешней области, справедливы аналогичные преобразования, в результате которых получаем

где

Символ обозначает исключение» члена с индексом из суммы. При выводе уравнения (34) используется выражение для волновых проводимостей волновода из параллельных пластин, получаемое из формулы (20) при

Логарифмическая особенность функции представлена в замкнутой форме [ем. выражение

Аналогичные результаты можно получить для задач о решетках из волноводов со стенками конечной толщины в режимах сканирования в и квази--плоскости.

Рассмотренный выше способ аппроксимации (если или преобразования (если ядра в уравнении (19) можно применять при решении задачи методом моментов и методом Галеркина в любом базисе функций. Как уже отмечалось, различная скорость сходимости при заданном числе аппроксимирующих функций ведет к разной точности решения. Поэтому разумно предположить, что если несколько, решений, полученных методом моментов в разных базисах, имеют одинаковую точность, то все решения обладают той же степенью точности. В этом утверждении подчеркивается, что решения получены в разных базисах. Действительно, если базисы различаются очень сильно [например, базис ступенчатых функций и базисгладких

функций, таких, как то можно ожидать, что совпадение результатов решений, соответствующих этим базисам, свидетельствует о высокой точности обоих решений. Результаты сопоставления решений, соответствующих различным базисам, приведены в гл. 8.

При решении уравнения (17) [или уравнения (19)] методом моментов было рассмотрено преобразование этих уравнений к матричному уравнению конечного порядка вида

где и матрицы-столбцы, квадратная матрица. Матрица-столбец находится обращением матрицы К.

Возможность точного обращения матрицы К, или ее обусловленность, в значительной мере определяется диагональной сингулярностью мнимой части ядра уравнений (17) и (19). Матрица с сильно выраженной а тональностью является хорошо обусловленной. Особенности ядер интегральных уравнений (17) и (19) приводят во многих базисах к сильно выраженной диагопальности только для мнимой части матрицы К. Это, в частности, справедливо, когда в качестве базиса используются кусочно-гладкие функции (интегрирование уравнений (17) и (19) по Риману, Симпсону или по формуле трапеций). Поэтому при вычислении обратной матрицы необходимо использовать специальные приемы.

При решении уравнения матрицу К преобразуют часто с помощью операций над действительными числами вместо действий над комплексными величинами. Преимущества операций над действительным числами очевидны в тех случаях, когда требуется производить операции над числами с большим числом значащих цифр, т. е. при работе на электронной вычислительной машине в режиме удвоенной точности [15]. Вычисления с повышенной точностью невозможны или затруднены при операциях над комплексными числами. Положим

Разлагая левую и правую части уравнения (37) на действительные и мнимые части, получаем

После преобразований находим решение в виде

Так как матрица является плохо обусловленной, то довольно трудно вычислить обратную матрицу с достаточной степенью точности. Одним из способов преодоления этих трудностей является переход от операций над матрицами к операциям пад матрицами которые содержат хорошо обусловленную матрицу Для этого складывают, а затем вычитают уравнения (38а). Решение задачи в этом случае имеет вид

Таким образом, мы оценили значение сингулярностей в уравнениях (17) и (19) для решения задачи численными методами.

Рис. 5.4. Аппроксимация неизвестной функции кусочно-гладкой функцией.

Более того, существование решений уравнений (17) и (19) зависит от особенностей ядер этих уравнении.

Для приближенного решения уравнений (17) и (19) часто используется базис кусочно-гладких функций. Например, интервал интегрирования в уравнении (19) можно разбить на подынтервалов, имеющих в общем случае неодинаковую длину (рис. 5.4). Неизвестная функция аппроксимируется набором «импульсов». Параметры каждого импульса подбираются таким образом, чтобы этот импульс представлял ортонормированную функцию от переменной у (каждый ортонормированный имнульс умножается на коэффициент, примерно равный Импульсы могут иметь плоские вершины, вершины, образованные наклонными прямыми (интегрирование по формуле трапеций), и вершины, образованные кривыми более высоких порядков (интегрирование по Симпсону). Чем выше степень гладкости аппроксимирующей функции при

заданном числе интервалов, тем точнее результат решения. Однако это еще не означает, что такие же или лучшие результаты не могут быть пцлучены за счет увеличения числа интервалов

Способ представления искомой функции в кусочно-постоянном базисе на основе метода момептов по существу эквивалентен методу согласования по точкам (методу коллокаций), часто рассматриваемому в литературе.

Степень сходимости кусочно-гладкого базиса при больших является важным фактором. Хорошо известно, что процесс интегрирования по Риману (или по Симпсону и т. д.) не сходится при больших если подынтегральная функция [такая, как на рис. 5.4 или уравнениях (17) и (19)] имеет особенность в интервале интегрирования (включая границы интервала). Это не исключает, однако, возможности использования базиса кусочно-гладких функций, так как для данного значения должен существовать расширенный, полный и сходящийся базис. Иными словами, если имеется кусочно-гладкий базис, образованный конечным числом функций то можно дополнить этот базис бесконечным набором функций необязательно относящихся к кусочно-гладкому базису: Следовательно, в этом смысле результаты предыдущего обсуждения проблемы сходимости остаются справедливыми и в том случае, если искомая функция имеет особенности. Тем не менее при использовании базиса кусочно-гладких функций можно говорить о сходимости решения при возрастании (и это является общепринятым) по аналогии со случаями использования большинства других базисных функций, таких, как

Можно предположить, что при использовании базиса. кусочногладких функций желательно уменьшать подынтервалы в тех областях, где аппроксимируемая функция сильно изменяется (рис. 5.4). Такое предположение верно, в частности, при рассмотрении окрестностей особые точек, которые для компонент поля расположены на ребрах волноводов. Скругляя углы, можно устранить сингулярность поля в раскрыве.

В работе [16] дано решение задачи дифракции Плоской волны на прямоугольном клине со скругленным ребром. Результаты для случая нормального падения волны на одну из граней клина показаны на рис. 5.5. Распределения токов (рис. 5.5, б и в) рассчитаны методом согласования по точкам. Видно, что более частое расположение точек в -области ребра (случаи IV—VI) позволяет более точно выявить всплеск поля на ребре. Однако очень существенно, что отраженное вперед поле, рассчитанное по этим точкам, мало зависит от расположения точек и от радиуса скругления ребра. Для фазированных решеток это эквивалентно утверждению, что особенности полей на ребрах мало влияют на коэффициент отражения и другие параметры рассеяния. Такой вывод не является

(кликните для просмотра скана)

неожиданным, так как из уравнения (7) следует, что коэффициент отражения является результатом усреднения поля с гладкой весовой функцией (случай сканирования в -плоскости):

Особенности поля, конечно, сильно влияют на коэффициенты при функциях высших порядков и определяют характер асимптотического поведепия этих коэффициентов.