6. КАНОНИЧЕСКОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

До сих пор мы рассматривали приближенные решения интегральных уравнений, основанные на методе моментов. Это связано с тем, что задачи анализа ФАР слишком сложны, чтобы можно было применять чисто аналитические методы. Однако существует такая модель решетки, для которой при определенной идеализации возможно точное решение либо функционально-теоретическим методом 123, 24], либо методом Винера — Хопфа [25, 26]. Ниже мы кратко опишем оба метода.

Этот особый вид решетки представляет собой решетку из тонких параллельных идеально проводящих пластин (рис. 3.4). Интегральные уравнения для такой решетки выводятся способом, описанным в гл. 2 и 4. Переход от интегральных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений осуществляется обычным путем, за исключением выбора базиса. Обычно, если рассматривается уравнение для электрического поля, использование типов волн в волноводе в качестве базисных и весовых функций оказывается весьма эффективным. В уравнении для магнитного поля целесообразно использовать в качестве базисных и весовых функций пространственные периодические гармоники внешней

области (гармоники Флоке). При выборе одного вида функций в качестве базисных, а другого — в качестве весовых элементы матрицы получаются более сложными, чем при использовании только одного вида функций. Однако, если стенки волноводов бесконечно тонкие, выбор смешанного базиса может привести к значительному упрощению элементов матрицы, так как апертура волновода теперь занимает почти всю площадь единичной ячейки. Более того, функциональная форма элементов матрицы такова, что можно получить точное аналитическое решение бесконечной системы линейных уравнений.

Для иллюстрации возьмем решетку, возбуждаемую низшим типом волн (можно также взять волну ТЕМ) и сканирующую в плоскости (случай возбуждения волной анализируется аналогично). Интегральное уравнение для электрического поля имеет вид

Неизвестное электрическое поле можно представить в виде следующего разложения:

Подставляя выражение (54) в уравнение (53) и вычисляя моменты с функциями после ряда алгебраических преобразований получим (см. гл. 4).

где неизвестные связаны с соотношением

где при Система уравнений (55) имеет особую форму. Коэффициент при весьма прост и зависит только от разности Уравнения такого типа решаются с помощью функционально-теоретического метода, известного под названием метод вычетов. В этом методе вводится интеграл от специальной аналитической функции и затем вычеты

подынтегральной функции связываются с неизвестными коэффициентами

Рассмотрим контурный интеграл

где аналитическая функция, обладающая следующими свойствами:

В выражении обозначает простой замкнутый контур, окружающий первые полюсов. По теореме Коши о вычетах контурный интеграл равен произведению на сумму вычетов в полюсах. Когда уходит в бесконечность, согласно условиям (3) и (4) контурный интеграл равен

где

Из сравнения выражений (55) и (57) формально получаем

Таким образом, определение неизвестных коэффициентов свелось к нахождению соответствующей функции Детали построения такой функции обсуждаются в приложении II.

Пределы применения метода вычетов, очевидно, очень ограниченны. В работе [30] область его приложения была расширена на задачи для решеток из параллельных пластин конечной толщины. Это развитие метода называется модифицированным методом вычетов.

Решетка из тонких пластин может быть проанализирована также методом Винера — Хопфа. Применение этого метода в задачах для сканирующих решеток рассмотрено в гл. 4.