§ 4. Трансцендентные числа

Кроме деления действительных чисел на рациональные и иррациональные, имеется другое их деление — на алгебраические и трансцендентные.

Если действительное число удовлетворяет некоторому уравнению вида

с целыми коэффициентами, то мы говорим, что это число алгебраическое. Действительное число, не удовлетворяющее никакому уравнению такого вида, называется трансцендентным. (Комплексные числа делятся на алгебраические и трасцендентные точно таким же образом, однако в дальнейшем нас будут интересовать только действительные числа.)

Легко видеть, что каждое рациональнее число является алгебраическим. Например, 5/7 удовлетворяет уравнению требуемого типа . Вообще, любое рациональное число удовлетворяет уравнению и потому является алгебраическим.

Так как каждое рациональное число является алгебраическим, то каждое неалгебраическое число нерационально (см. способ 12 из указанной на стр. 40 таблицы «Способов выражения: если А, то В»), или, в более удобной для нас форме: каждое трансцендентное число иррационально. Это деление схематически проиллюстрировано на рис. 15.

Рис. 15

На этом рисунке числа фигурируют в качестве примеров алгебраических чисел. Они действительно являются алгебраическими, поскольку удовлетворяют соответственно следующим алгебраическим уравнениям:

Числа , с другой стороны, указаны как примеры трансцендентных чисел. (Число , равное 3,14159..., представляет собой отношение длины окружности к длине ее диаметра.) Мы не можем привести здесь доказательства трансцендентности этих чисел, поскольку они основываются на применении методов значительно более глубоких чем те, которыми мы пользуемся. Трансцендентность числа была установлена в 1882 г., а трансцендентность чисел является значительно более поздним результатом — она была доказана лишь в 1934 г. Число было использовано в качестве примера великим математиком Давидом Гильбертом, когда он в 1900 г. огласил знаменитый список двадцати трех проблем, рассматриваемых им как важнейшие нерешенные математические проблемы. В частности, седьмая проблема Гильберта состояла в следующем: выяснить, является ли число алгебраическим или трансцендентным, если известно, что числа алгебраические. (Случаи и рационального были исключены, так как в этих случаях довольно легко доказать, что число — алгебраическое.) В 1934 г. А. О. Гельфонд и независимо от него Т. Шнейдер установили, что число трансцендентно. Трансцендентность числа является, конечно, частным случаем этого общего результата.

Трансцендентность числа также вытекает из этого результата. В самом деле, обозначим через , а 10 — через а. В силу определения десятичного логарифма

Если бы число было алгебраическим и иррациональным, то по теореме Гельфонда — Шнейдера число должно было бы быть трансцендентным. Поскольку это не так, то либо рационально, либо трансцендентно. Но выше мы показали, что число иррационально. Следовательно, оно трансцендентно.

Вообще, из теоремы Гельфонда — Шнейдера вытекает, что все числа , где рационально, являются либо трансцендентными, либо рациональными. В силу сказанного в § 3 (см. также упр. 4 на стр. 97) это означает, что число трансцендентно при всех положительных рациональных , исключая следующие:

Не следует забывать, что все рассматриваемые в настоящей книге логарифмы являются десятичными, т. е. берутся по основанию 10.

Таким образом, все числа , где — любое целое число между 1 и 1000, исключая трансцендентны. С другой стороны, значения тригонометрических функций, например число , иррациональность которых была доказана в начале этой главы, являются алгебраическими. Относящийся сюда общий результат формулируется так для любого рационального числа числа

являются алгебраическими. Здесь обозначает угол, получаемый при умножении 90° на . Единственная оговорка, которую нужно при этом сделать, состоит в следующем: в случае число должно быть таким, чтобы число существовало. Например, значение исключается, поскольку действительного числа не существует.

Выше уже говорилось, что число я трансцендентно. Будучи трансцендентным, я также иррационально. Иррациональность числа доказать проще, чем трансцендентность, однако даже и это доказательство выходит за рамки настоящей книги.

Упражнения

1. Доказать, что следующие числа являются алгебраическими:

2. Исходя из трансцендентности , доказать, что число трансцендентно.