§ 3. Действительные числа

20. Иррациональные числа.

Для измерения используются не только рациональные числа, но и числа иной природы, т. е. не являющиеся целыми или дробными. Все такие числа называются иррациональными. Например, длина диагонали квадрата со стороной 1 (рис. 2, а) должна выражаться некоторым положительным числом , таким, что теореме Пифагора, см. с. 281), т. е. таким, что Число не может быть целым, так как и т. д. Число не может быть и дробным: если несократимая

дробь, где то тоже будет несократимой дробью, где значит, не является целым числом, а потому не может равняться 2. Поэтому длина диагонали квадрата выражается иррациональным числом, оно обозначается (читается: «Квадратный корень из двух»). На рисунке 2, б изображена координатная прямая — квадрат, Тогда координатой точки С является число а координатой точки D — число Обе точки С и D имеют иррациональные координаты.

Аналогично не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10. Соответствующие иррациональные числа обозначаются . Противоположные им числа также иррациональны, они обозначаются

Следует подчеркнуть, что к иррациональным числам приводит не только задача отыскания числа, квадрат которого равен заданному положительному числу. Например, число выражающее отношение длины окружности к диаметру, нельзя представить в виде обыкновенной дроби — это иррациональное число.

Так как любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби (см. п. 16) и в свою очередь любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число (см. п. 17), то каждое иррациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби и в свою очередь любая бесконечная десятичная непериодическая дробь есть иррациональное число.

21. Действительные числа. Числовая прямая.

Рациональные и иррациональные числа составляют вместе множество действительных чисел. Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному

числу (достаточно найти расстояние до этой точки от начала отсчета и поставить перед найденным числом знак + или — в зависимости от того, справа или слева от начала отсчета находится заданная точка). Для краткости обычно вместо фразы «точка координатной прямой, соответствующая действительному числу а», пишут и говорят «точка а», а употребляя термин «число с», имеют в виду «действительное число а.

Множество действительных чисел называют также числовой прямой. Геометрической моделью числовой прямой служит координатная прямая.

22. Обозначения некоторых числовых множеств.

N - множество натуральных чисел.

Z - множество целых чисел.

Q - множество рациональных чисел.

R - множество действительных чисел.

Запись (читается: «n принадлежит множеству N») обозначает, что — натуральное число. Аналогичный смысл имеют следующие обозначения: целое число); рациональное число); действительное число).

23. Сравнение действительных чисел.

Для любых неравных действительных чисел а и b можно сказать, какое больше, а какое меньше.

Говорят, что число а больше числа b, и пишут: если разность положительное число; если же разность отрицательное число, то говорят, что число а меньше числа b, и пишут: Согласно этому определению любое положительное число больше нуля, любое Отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. Для любых заданных чисел а и b верно одно и только одно из отношений: .

С геометрической точки зрения неравенство означает, что точка а расположена на координатной прямой левее (правее) точки b.

Знаки называются знаками строгих неравенств. Иногда используются знаки — знаки нестрогих неравенств; запись означает, что верно одно из двух: или число а меньше числа b, или число а равно числу b. Например, — верные неравенства. Неравенства называются неравенствами одного знака; неравенства называются неравенствами противоположных знаков. Если числа а, b, с таковы, что с, то используется запись

Пример. Сравнить числа и 0,67.

Решение. Составим разность и найдем значение этой разности:

Разность отрицательна, поэтому

24. Свойства числовых неравенств.

Для любых действительных чнсел а, b, с, d выполняются следующие свойства:

2°. Если а то (свойство транзитивности).

4°. Если — положительное число то . Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Доказательство. Рассмотрим разность Имеем По условию с — положительное число, а так как то и положительное число. Но произведение двух положительных чисел есть положительное число, значит, с Таким образом, . Но если разность — положительное число, то

5° Если — отрицательное число то Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

6° Если почленно сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство).

7°. Если а, b, с, d — положительные числа, причем а>Ь и , то почленно перемножить верные неравенства одного знака левые и правые части которых положительные числа, то получится верное неравенство).

Доказательство. Так как то по свойству акалогично следует . Так как далее , то по свойству

10°. Если то для любого натурального числа выполняется неравенство

25. Числовые промежутки.

Возьмем два числа a и b, такие, что и отметим на координатной прямой соответствующие им точки.

Произвольная точка х, лежащая между а и b, соответствует числу, которое удовлетворяет неравенствам . Множество всех чисел удовлетворяющих этим неравенствам, обозначают и называют интервалом.

Множество всех чисел каждое из которых удовлетворяет неравенствам обозначают и называют отрезком.

Интервал и отрезок — это конечные числовые промежутки. Конечные числовые промежутки бывают еще двух видов: это множество чисел удовлетворяющих неравенствам это множество чисел удовлетворяющих неравенствам . Эти промежутки называют полуинтервалами.

Бывают и бесконечные числовые промежутки. Множество всех чисел удовлетворяющих неравенству обозначают и называют лучом, а множество всех чисел удовлетворяющих неравенству обозначают и называют открытым лучом. Знак читается: «Плюс бесконечность».

Аналогично может быть луч вида (числа, удовлетворяющие неравенству ) и открытый луч вида (числа, удовлетворяющие неравенству Знак читается: «Минус бесконечность».

В приведенной ниже таблице для каждого вида числового промежутка даны его геометрическое изображение, обозначение и запись с помощью неравенств.

На практике не всегда используют термины «интервал, «отрезок», «полуинтервал», «луч», заменяя их общим названием «числовой промежуток».

26. Модуль действительного числа.

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если и противоположное число — с, если Модуль числа а обозначается I а . Итак,

Например, так как ;

Геометрически означает расстояние на координатной прямой точки а от точки О (рис. 3).

Свойства модулей:

27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой.

Если а и b — две точки координатной прямой, то расстояние между ними выражается формулой Ясно, что . Так,

Пример. Найти все такие точки которые удовлетворяют: а) уравнению неравенству

Решение, а) Уравнению удовлетворяют такие точки расстояние которых от точки 1 равно 3. Это точки —2 и 4 (рис. 5). Значит, уравнение имеет два корня: —2; 4.

б) Неравенству удовлетворяют такие точки которые удалены от точки —1 на расстояние, меньшее или равное 2. Это точки из отрезка

28. Правила действий над действительными числами.

Сумма двух чисел одного знака есть число того же знака; чтобы найти модуль такой суммы, надо сложить модули слагаемых. Например,

Сумма двух чисел с разными знаками есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; чтобы иайти модуль этой суммы, надо из большего модуля вычесть меньший. Например, .

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например, .

Произведение (частное) двух чисел одного знака есть число положительное, а произведение (частное) двух чисел разных знаков есть число отрицательное; чтобы найти модуль произведения (частного), надо перемножить (разделить)

модули данных чисел. Например,

29. Свойства арифметических действий над действительными числами.

Эти свойства называют иногда основными законами алгебры, причем свойства 1° и 5° выражают переместительный закон соответственно слежения и умножения, свойства 2° и 6° — сочетательный закон, а свойство 7° — распределительный закон умножения относительно сложения.

Из этих свойств выводятся другие свойства. Например, с . В самом деле, имеем:

30. Пропорции.

Пусть а, b, с, d — действительные числа, отличные от 0, и пусть имеет место равенство Это равенство называют пропорцией, числа крайними членами, а числа b а с — средними членами пропорции.

Для пропорции можно использовать и запись —

Например, можно составить пропорцию из чисел

Справедливы следующие утверждения:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Крайние члены пропорции можно поменять местами, т. е. если , то .

Средние члены пропорции можно поменять местами, т. е. если , то

31. Целая часть числа. Дробная часть числа.

Пусть действительное число. Его целой частью называется наибольшее целое число, не превосходящее целая часть числа обозначается Дробной частью числа называется разность между числом и его целой частью, т. е. дробная часть числа обозначается Значит,

Напрнмер,

32. Степень с натуральным показателем.

Выше (см. п. 5) определено понятие степени натурального числа с натуральным показателем. Теперь обобщим это определение для любого действительного основания степени. Пусть а — действительное число, натуральное число, большее единицы, степенью числа а называют произведение множителей, каждый из которых равен а, т. е. . Если , то полагают Число а — основание степени, — показатель степени.

Например,

Справедливы следующие свойства степени с натуральным показателем:

Например,

33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем.

Полагают по определению: если Например, Нулевая степень числа 0 не имеет смысла.

Полагают по определению: если и n — натуральное число, то

Например,

Справедливо равенство

34. Стандартный вид положительного действительного числа.

Любое положительное число а можно представить в виде где целое число.

Пример 1. Пусть тогда здесь

Пример 2. Пусть тогда здесь

Пример 3. Пусть тогда здесь

Если положительное число а представлено в виде где — целое число, то говорят, что число а записано в стандартном виде; показатель называют при этом порядком числа.

Для того чтобы положительное число а представить в стандартном виде, нужно поставить запятую так, чтобы в целой части оказалась одна значащая цифра (см. п. 13), и умножить полученное число на 10 так, чтобы в результате умножения запятая вернулась на то место, которое она занимала в числе а. Так мы действовали в примерах 1, 2, 3.

В примере 1, отделив в числе 395 первую значащую цифру, получили 3,95; чтобы вернуться к исходному числу, надо запятую передвинуть на две цифры вправо — это равносильно умножению на 102. Значит,

В примере 2 уже отделена запятой одна значащая цифра, поэтому

В примере 3, отделив запятой в числе 0,0023 первую значащую цифру, получили 2,3; чтобы вернуться к исходному числу, надо запятую передвинуть на три цифры влево — это равносильно делению на 10? или умножению на Значит,

35. Определение арифметического корня. Свойства арифметических корней.

Если — натуральное чнсло, большее 1, то существует, и только одно, неотрицательное число такое, что выполняется равенство Это число называется арифметическим корнем степени из неотрицательного числа а и обозначается Число а называется подкоренным числом, — показателем корня. Если то обычно пишут показатель корня) и называют

это выражение квадратным корнем. Часто вместо термина «кооень употребляют термин «радикал».

Итак, согласно определению запись где означает, во-первых, что и, во-вторых, что , т. е.

Например,

Если то справедливы следующие свойства:

Свойство 1° распространяется на произведение любого числа множителей. Например,

Пример. Упростить:

Решение. а)

г) (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 2).

36. Корень нечетной степени из отрицательного числа.

Пусть натуральное число, большее 1. Если n — четное число, то равенство не выполняется ни при каком действительном значении Это значит, что в области действительных чисел нельзя определить корень четной степени из отрицательного числа. Если же n — нечетное число, то существует одно и только одно действительное число такое, что Это число обозначают и называют корнем нечетной степени из отрицательного числа а.

Например, так как так как

В случае нечетных показателей корней свойства радикалов, справедливые для неотрицательных значений подкоренных выражений верны и для отрицательных значений подкоренных выражений.

Например, для любых а и b.

37. Степень с дробным показателем.

Полагают по определению: если — натуральные числа, то

если , то

Нецелая степень отрицательного числа не имеет смысла.

Пример. Вычислить .

Решение.

38. Свойства степеней с рациональными показателями.

Для любого числа а определена операция возведения в натуральную степень (см. п. 32); для любого числа определена операция возведения в нулевую и целую отрицательную степень (см. п. 33); для любого определена операция возведения в положительную дробную степень (см. п. 37), и, наконец, для любого определена операция возведения в отрицательную дробиую степень (см. п. 37).

Пример. Вычислить .

Решение.

В итоге получаем:

Если — любые рациональные числа, то:

39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности.

При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая следующая этим разрядом цифра меньше 5» то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.

Пример 1. Округлить число с точностью до: а) десятков; б) единиц; в) десятых; г) сотых; д) тысячных.

Решение, а) Цифра единиц, следующая за разрядом десятков, равна 1, т. е. меньше 5. Значит, округлив до десятков, имеем а «2470. Знак называют знаком приближенного равенства.

б) Цифра десятых равна 0, значит, округлив до единиц, пмеем а «2471.

в) Цифра сотых равна 5, значит, округлив до десятых, имеем а «2471,1.

г) Цифра тысячных равна 6, значит, округлив до сотых, имеем а «2471,06.

д) Цифра десятитысячных равна 2, значит, округлив до тысячных, имеем

Все найденные значения называются приближенными значениями числа

Приближенные значения появляются не только при округлении чисел. Чаще они возникают при различных измерениях (длнн, масс, температур и т. д.). При этом зажно знать, с какой точностью выполнено измерение.

Пусть а — приближенное значение числа а. Тогда модуль разности чисел а и а, т. е. называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа а, а отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример 2. Взвесив деталь, масса которой равна , на весах с ценой деления шкалы , получили приближенное значение массы 54,1 г. Найти абсолютную и относительную погрешности этого приближенного значения.

Решение. Абсолютная погрешность равна

Относительная погрешность равна

При измерениях, как правило, точные значения величин

бывают неизвестны, поэтому важны сведения об абсолютных погрешностях приближенных значений. Если, например, деталь массы взвесили на весах с ценой деления шкалы , то это значит, что абсолютная погрешность измерения будет не более . Так, если, взвесив деталь, получили 54,1 г, то точное значение массы может отклоняться от 54,1 в ту или иную сторону не более чем на , т. е. . Короче это записывают так:

Вообще если абсолютная погрешность приближенного значения о, найденного для интересующего нас числа а, не превосходит некоторого числа h, то пишут говорят, что а — приближенное значение числа а с точностью до

Пример 3. Найти приближенное значение числа с точностью до 0,01.

Решение. Округлив число а до сотых, получим (см. пример 1, г) .

Абсолютная погрешность этого приближенного значения равна Значит, - приближенное значение числа а с точностью до 0,01.

В математических таблицах обычно даются приближенные значения величин. При этом считают, что абсолютная погрешность не превосходит половины единицы последнего разряда. Например, найдя по таблице для числа значение 1,4142, мы должны понимать, что это — приближенное значение с точностью до 0,0001, т. е. что его абсолютная погрешность не превосходит 0,00005:

40. Десятичные приближения действительного числа но недостатку и по избытку.

Возьмем иррациональное число

Числа 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 называются десятичными приближениями числа по недостатку с точностью соответственно до 1, до 0,1, до 0,01» до 0,001, до 0,0001. Числа 2; 1,5; 1,42; 1,415: 1,4143 называются десятичными приближениями числа по избытку соответственно с той же точностью.

Для числа используют представление в виде бесконечной десятичной дроби: Вообще любое действительное

число представимо в виде бесконечной десятичной дроби, причем периодической, если число рациональное (см. п. 16), и непериодической, если число иррациональное.

Например, (см. п. 17). Десятичное приближение числа — с точностью до 0,001 по недостатку равно 0,254, а по избытку равно 0,255.

Число имеет вид . Десятичное приближение числа с точностью до 0,0001 по недостатку равно 3,1415, а по избытку —3,1416.

41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа.

Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа , причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться следующим правилом.

1. Разобьем число на грани (справа налево, начиная с последней цифры), включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом следует учесть, что если состоит из четного числа цифр, то в первой (слева) грани будет две цифры; если же число состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает количество цифр результата.

2. Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра — первая цифра результата.

3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число А. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую наибольшую цифру чтобы произведение числа на не превосходило числа А. Цифра вторая цифра результата.

Произведение числа на : вычтем из числа А, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число В. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число b. Теперь подберем такую наибольшую цифру у, чтобы произведение числа на у не превосходило числа В. Цифра у — третья цифра результата.

Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется последняя грань.

Пример 1. Вычислить

Решение. Разобьем число на грани: 138384— их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата 3, так как тогда как

. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим Подберем теперь такую наибольшую цифру чтобы произведение двузначного числа аж на было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как это меньше 483, тогда как это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7.

Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 37, получим Подберем теперь такую наибольшую цифру у, чтобы произведение трехзначного числа на у не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как . Цифра 2 — последняя цифра результата. В ответе получили 372.

Пример 2. Вычислить

Решение.

Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного чнсла ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид . В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; прекращается, когда достигается требуемая точность.

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,01.

Решение.

Итак, с точностью до 0,01 имеем

42. Понятие о степени с иррациональным показателем.

Пусть а — иррациональное число. Какой смысл вкладывается в запись , где а — положительное число? Рассмотрим три случая:

1) Если , то полагают

2) Пусть Возьмем любое рациональное число и любое рациональное число . Тогда . В этом случае под понимают такое число, которое заключено между для любых рациональных чисел таких, что В математике доказано, что такое число существует и единственно для любого и любого иррационального

Пусть Возьмем любое рациональное число и любое рациональное число Тогда В этом случае под понимают такое число, которое заключено между и а для любых рациональных чисел удовлетворяющих неравенству В математике доказано, что такое число существует и единственно для любого числа а из интервала и любого иррационального а.

43. Свойства степеней с действительными показателями.

Если и x, у — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства: