4.18.2. Математические модели течений и примеры их реализации

К настоящему времени уже создано такое количество математических моделей течений, что потребовалась их классификация по различным признакам. В работе [43] математические модели разделены по признаку полноты представления рассматриваемого течения на следующие виды: одномерные (по вертикали или горизонтали), двухмерные (в горизонтальной или вертикальной плоскости) и трехмерные (пространственные).

Каждая из этих видов математических моделей может предназначаться для рассмотрения течений различного вида: стоковых, сейшевых, ветровых или суммарных.

Математические модели ветровых течений зарубежные исследователи классифицируют [202] по признакам устойчивости и учитываемого переноса воды и делят на следующие виды: интегральные, в которых рассматривается полный перенос вод по вертикали без рассмотрения вертикального профиля течений; стационарные для условий постоянной и переменной плотности вод и нестационарные для баротропных (однородных по плотности) и бароклинных (с выраженным скачком плотности по вертикали) условий в водоеме.

Известна и другая классификация математических моделей ветровых течений [202], в которой течения делят по признакам рассматриваемых задач на следующие виды: экмановские, интегральные, многослойные и миогоуровенные.

С помощью математических моделей течений, по определению А. С. Саркисяна [152], можно решать задачи двух различных классов: диагностические и эволюционные.

Решение диагностических задач основывается на использовании натурных данных, например полей температуры, ветра. Примером диагностических моделей является так называемый динамический метод.

Математическими моделями эволюционного класса решаются задачи формирования взаимосвязанных полей течений, температуры и пограничных слоев атмосфера—вода, в связи с чем они оказываются наиболее сложными и наиболее трудоемкими.

Разными математическими моделями учитывается различное число определяющих перенос вод факторов. По данным Н. Н. Филатова [202], который выполнил анализ математических моделей по этому показателю, наибольшее число определяющих факторов учитывают трехмерные гидродинамические модели прогностического класса, а наименьшее число факторов — в динамическом методе.

Рассмотрим основные положения некоторых математических моделей, их достоинства и недостатки, а также отдельные результаты расчетов.

Динамический метод используется для расчета так называемого геострофического течения, которое формируется в крупном

глубоководном водоеме под действием градиента давления, сил тяжести, Кориолиса и трения.

Если трение не учитывают, а ускорение считают пренебрежимо малым, то скорость геострофического течения в горизонтальном направлении выражают в виде [42]

где угловая скорость вращения Земли; геострофическая широта места; плотность воды; горизонтальный градиент давления.

Геострофическое течение направлено вдоль изобар так, что область повышенного уровня располагается справа от этого направления. Толщину слоя воды между стандартными поверхностями давления рассматриваемого пункта водоема обычно определяют исходя из уравнения гидростатического напора, представляемого в виде

где разность толщины слоев в соседних пунктах водоема.

Скорость геострофического течения на данной изобарической поверхности можно определить также путем объединения уравнения геострофического движения с уравнением гидростатического напора

Выражение (4.49) можно представить в виде разности глубины данной изобарической поверхности в двух точках, отстоящих друг от друга на расстояние т. е.

Если силу тяжести, изменяющуюся от одного пункта к другому, заменить на геопотенциал, который выражает работу на единицу массы против сил тяжести и не зависит от широты места, то скорость геострофического течения выразится в виде

где динамическая толщина интервала давления между точками точками

Чтобы найти используют вертикальные профили температуры и минерализации для расчета давления по суммированным значениям веса всего столба воды и его удельного объема. Вычисленные таким путем скорости свойственны верхнему слою и являются относительными величинами по отношению к нулевой поверхности, где нет движения. Поскольку такой поверхности в природе не существует, то рассчитанные скорости геострофического течения являются весьма приближенными. Несмотря на этот недостаток и невозможность расчетов дрейфовых течений, динамическим

методом получены схемы течений для многих крупных водоемов [149, 202].

Наиболее обстоятельные расчеты геострофических течений выполнены В. А. Кротовой [99] по съемкам температуры воды в оз. Байкал. Обнаружены некоторые общие черты рассчитанных геострофических циркуляций с преобладающими циркуляциями, полученными по данным обобщений материалов длительной регистрации течений в озере. В отдельных зонах озера отмечаются расхождения между геострофической и преобладающей циркуляциями, но они укладываются в пределы реальных погрешностей расчета, которые колеблются, по оценкам Кротовой, от 7 до 140 % [99].

Экмановские математические модели предназначены для расчета ветровых течений и оценок распространения сточных вод. Имеются модификации этих моделей, разработанные применительно к условиям глубокого, однородного по плотности моря, мелководного моря и озера [21, 65, 107]. Скорость течения в экмановских моделях представляется в виде суперпозиции дрейфовой составляющей движения, обусловленной касательным напряжением ветра и градиентной составляющей, обусловленной действием горизонтального градиента давления в виде

Вертикальная составляющая течений в моделях определяется выражением

при следующих граничных условиях:

v = 0 при z = H - условие прилипания, где

f - параметр Кориолиса, равный ; А — коэффициент вертикальной турбулентной вязкости; — глубина места; z — горизонт, от поверхности воды.

В соответствии с выражением (4.52), скорость течения убывает с глубиной по экспоненциальному закону, а вектор течения поворачивает вправо от направления ветра, как в рассматриваемом выше случае геострофического течения.

К числу наиболее существенных недостатков экмановских моделей относят пренебрежение горизонтальным турбулентным обменом, принятие жидкости однородной, коэффициента

вертикального турбулентного обмена постоянным, а общего движения — соответствующим геострофическому.

Трехмерные бароклинные математические модели динамического и прогностического классов считаются наиболее сложными и трудоемкими для практического использования. Математической основой трехмерных моделей являются уравнение неразрывности и уравнения движения. К этим уравнениям добавляются уравнение для описания уровенной поверхности и уравнение состояния.

В качестве граничных условий задается касательное напряжение на водной поверхности, условие непроницаемой поверхности и дна. На дне и боковых границах задается условие прилипания. Параметр Кориолиса обычно принимается постоянным для всей акватории водоема, а рельеф котловины водоема — реальным.

Для оз. Байкал трехмерная баротропная и бароклинные модели разрабатывались сотрудниками Сибирского отделения АН СССР.

В трехмерной бароклинной модели, разработанной и использованной Е. А. Цветовой [212], формирование ветрового течения осуществлялось при непрерывном воздействии атмосферы на водную поверхность озера. При этом учитывалась повторяемость и преемственность типовых полей ветра.

Шаг по времени принимался равным 3 ч, а касательное напряжение ветра на водной поверхности вычислялось по формуле Н. А. Давтян, представленной в виде

где вектор скорости ветра.

В результате выполненных расчетов получены результирующие схемы циркуляции вод на конец каждого из рассматриваемых отрезков времени с типовой синоптической ситуацией: некоторые из этих схем имеют общие черты со схемой геострофических течений, составленной В. А. Кротовой [99], и со схемами преобладающих течений, составленных ранее В. М. Сокольниковым, М. М. Айнбундом [3] и В. И. Верболовым [24].

Отмеченное вселяет уверенность в целесообразности использования для расчетов течений как наиболее простых, так и сложных математических моделей.