3. Циклические группы

Группа О называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного и того же элемента Этот элемент называется образующей циклической группы О. Любая циклическая группа, очевидно, абелева.

Циклической группой является, например, группа целых чисел по сложению. Эту группу мы будем обозначать символом 2. Ее образующей является число 1 (а также число — 1). Циклической группой является также группа, состоящая только из одного элемента (единицы).

В произвольной группе О степени любого элемента g составляют циклическую подгруппу с образующей g. Порядок этой подгруппы, очевидно, совпадает с порядком элемента g. Отсюда в силу теоремы Лагранжа (см. стр. 32) следует, что порядок любого элемента группы делит, порядок группы (заметим, что все элементы конечной группы являются элементами конечного порядка).

Поэтому для любого элемента g конечной группы порядка имеет место равенство

Это простое замечание часто бывает полезно.

Заметим, далее, что конечная группа О порядка тогда и только тогда является циклической группой, когда она обладает элементом порядка . Этот элемент является образующей.

Действительно, если группа О циклическая и ее образующая, то порядок элемента равен . Обратно, если группа О обладает элементом порядка , то среди степеней этого элемента имеется различных, и поэтому эти степени исчерпывают всю группу О.

Мы видим, таким образом, что циклическая группа может иметь несколько различных образующих (именно, любой элемент порядка является образующей).

Задача. Доказать, что любая группа простого порядка является циклической группой.

Задача. Доказать, что циклическая группа порядка имеет ровно образующих, где — число положительных чисел, меньших и взаимно простых с .

Наряду с порядком любой конечной группе можно отнести число — наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Задача. Доказать, что для любой конечной группы О число делит порядок группы.

Очевидно, что для циклической группы число совпадает с порядком. Обратное, вообще говоря, не верно. Тем не менее имеет место следующее утверждение, характеризующее циклические группы в классе конечных абелевых групп:

конечная абелева группа О, для которой число равно ее порядку , является циклической группой.

Действительно, пусть

— порядки всевозможных отличных от единицы элементов конечной абелевой группы О порядка , и пусть — их наименьшее общее кратное.

Разложим число в произведение степеней различных простых чисел:

Пусть Поскольку число является, по определению, наименьшим общим кратным чисел (1), среди этих чисел существует хотя бы одно число, делящееся точно на т. е. имеющеевид , где b взаимно просто с . Пусть это число является порядком элемента g. Тогда элемент имеет порядок (см. следствие 1) на стр. 29).

Таким образом, для любого в группе О существует хотя бы один элемент порядка Выбрав для каждого один такой элемент, рассмотрим их произведение. Согласно утверждению, доказанному на стр. 29—30, порядок этого произведения равен произведению порядков , т. е. равен числу . Поскольку последнее число по условию равно , тем самым доказано, что в группе О существует элемент порядка п. Следовательно, эта группа является циклической группой.

Пусть теперь О — произвольная циклическая группа с образующей и Н — некоторая ее подгруппа. Так как любой элемент подгруппы Н является элементом группы О, то его можно представить в виде , где d — некоторое положительное или отрицательное целое число (вообще говоря, определенное неоднозначно). Рассмотрим множество всех положительных чисел для которых элемент принадлежит подгруппе Н. Так как это множество непусто (почему?), то в нем существует наименьшее число Оказывается, что любой элемент h подгруппы Н является степенью элемента . Действительно, по определению, существует такое число d, что (число d может быть и отрицательным). Разделим (с остатком) число d на число

Так как , то в силу минимальности числа остаток должен быть равен нулю. Таким образом, .

Тем самым доказано, что элемент является образующей группы Н, т. е. что группа Н циклична. Итак, любая подгруппа циклической группы является циклической группой.

Задача. Доказать, что число равно индексу подгруппы Н и, следовательно, делит порядок группы О (если группа О конечна).

Заметим еще, что для любого делителя порядка конечной циклической группы Q в группе О существует одна и только одна подгруппа Н порядка (а именно подгруппа с образующей

Отсюда вытекает, что если конечная циклическая группа проста, то ее порядок является простым числом (или единицей).

Отметим наконец, что любая факторгруппа следовательно, любой гомоморфный образ) циклической группы Q является циклической группой.

Для доказательства достаточно заметить, что образующей группы служит смежный класс содержащий образующую группы О.

В частности, любая факторгруппа группы целых чисел Z является циклической группой. Изучим эти циклические группы более подробно.

Так как группа Z абелева, то любая ее подгруппа Я является нормальным делителем. С другой стороны, согласно доказанному выше, подгруппа Н является циклической группой. Так как факторгруппы по тривиальным подгруппам нам известны, то мы можем считать подгруппу Н нетривиальной. Пусть число является образующей подгруппы Н. Мы можем считать это число положительным (почему?) и, следовательно, большим единицы.

Подгруппа Н. состоит, очевидно, из всех целых чисел, делящихся на . Поэтому два числа тогда и только тогда принадлежат одному смежному классу по подгруппе Н, когда их разность делится на , т. е. когда они сравнимы по модулю (см. Курс, стр. 277). Таким образом, смежные классы по подгруппе Н суть не что иное, как классы чисел, сравнимых между собой по модулю .

Другими словами, факторгруппа группы Z по подгруппе Н является группой (по сложению) классов чисел, сравнимых между собой по модулю . Мы будем эту группу обозначать через Ее образующей является класс, содержащий число 1.

Оказывается, что любая циклическая группа изоморфна либо группе Z (если она бесконечна), либо одной из групп (если ее порядок конечен).

Действительно, пусть — образующая группы О. Определим отображение группы 2 в группу О, полагая

Из правил действий над степенями следует, что для любых чисел имеет место равенство

т. е. отображение гомоморфно. Его образ состоит из всех элементов группы О, являющихся степенями элемента т. е. совпадает с группой О. Таким образом, группа О является гомоморфным образом группы Z и, следовательно, изоморфна некоторой ее факторгруппе, т. е. либо самой группе О, либо одной из групп (мы предполагаем, что группа О не состоит только из единицы). Какой из групп изоморфна группа О, однозначно определяется тем, что изоморфные группы должны иметь одинаковый порядок.

Тем самым строение циклических групп полностью описано.

Важный пример циклических групп получается на основании следующих соображений.

Пусть — произвольное целое положительное число. Как известно (см. Курс, стр. 127), существует точно различных корней

степени из единицы:

Произведение любых двух корней степени из единицы и число, обратное к корню степени из единицы, очевидно, также являются корнями степени из единицы.

Следовательно, совокупность всех корней степени из единицы является группой порядка .

Известно (см. Курс, стр. 129), что любой корень степени из единицы является степенью так называемого первообразного корня. Следовательно, группа всех корней степени из единицы является циклической группой порядка . Ее образующими служат первообразные корни и только они.

Задача. Построить изоморфное отображение группы корней степени из единицы на группу