§ 2. Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна тонка с, что

Доказательство. Обозначим буквой Q число

т. е. положим и рассмотрим вспомогательную функцию определенную равенством

Выясним геометрический смысл функции F(x). Для этого напишем сначала уравнение хорды АВ (рис. 95), учитывая, что ее угловой коэффициент равен и что она проходит через точку

отсюда

Но . Следовательно, для каждого. значения равняется разности ординат кривой y = f(x) и хорды для точек с одинаковой абсциссой.

Легко видеть, что непрерывна на отрезке дифференцируема внутри этого отрезка и обращается в нуль на концах отрезка, т. е. Следовательно, к функции применима теорема Ролля. Согласно этой теореме внутри отрезка существует точка с такая, что Но Значит, откуда

Подставляя значение Q в равенство (2), будем иметь:

откуда непосредственно следует формула (1). Таким образом, теорема доказана.

Чтобы выяснить геометрический смысл теоремы Лагранжа, обратимся к рис. 95. Из рисунка непосредственно ясно, что величина представляет собой тангенс угла а наклона хорды, проходящей через точки А и В графика с абсциссами а и b.

Рис. 95.

С другой стороны, есть тангенс угла наклона касательной к кривой в точке с абсциссой с. Таким образом, геометрический смысл равенства (Г) или равносильного ему равенства (1) состоит в следующем: если во всех точках дуги АВ существует касательная, то на этой дуге найдется точка С между А и В, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки А и В.

Заметим, далее, следующее. Так как значение удовлетворяет усдовию то или где 0 есть некоторое число, заключенное между 0 и 1, т. е. Но тогда и формуле (1) можно придать следующий вид: