ГЛАВА 4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

4.1. Общий алгоритм

Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию Лагранжа полиномами и сплайнами для обработки результатов. В этом случае необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость, сглаживает возможные выбросы за счет погрешности эксперимента

Обозначим узлы исходной таблицы данных через где номер узла Считаем известными значения экспериментальных данных в узловых точках Введем непрерывную функцию для аппроксимации дискретной зависимости В узлах функции будут отличаться на величину Отклонения могут принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат и просуммируем квадраты отклонений По всем узлам

Метод построения аппроксимирующей функции из условия минимума величины называется методом наименьших квадратов

Наиболее распространен способ выбора функции в виде линейной Комбинации.

базисные функции; коэффициенты, определяемые при минимизации величины

Математически условия минимума суммы квадратов отклонений запишем, приравнивая нулю частные производные от О по коэффициентам с.

Из системы линейных алгебраических уравнений (4.3) определяются все коэффициенты Система (4.3) называется системой нормальных уравнений. Матрица этой системы имеет следующий вид:

и называется матрицей Грама. Элементы матрицы Грама являются скалярными произведениями базисных функций

Расширенная матрица системы уравнений (4.3) получится добавлением справа к матрице рама столбца свободных членов

где скалярные произведения, являющиеся элементами столбца, определяются аналогично (4.5)

Отметим основные свойства матрицы Грама, полезные при програм

мной реализации алгоритмов МНК:

1) матрица симметрична, т. е. что позволяет сократить объем вычислений при заполнении матрицы;

2) матрица является положительно определенной, следовательно, при решении системы нормальных уравнений методом исключения Гаусса можно отказаться от процедуры выбора главного элемента;

3) определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции при этом система (4.3) имеет единственное решение.

При обработке экспериментальных данных, определенных с погрешностью в каждой узловой точке, обычно начинают с аппроксимации функцией представимой одной-двумя базисными функциями. После определения коэффициентов вычисляют величину по формуле (4.1). Если получится, что то необходимо расширить базис добавлением новых функций Расширение базиса необходимо осуществлять до тех пор, пока не выполнится условие

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, свойства симметрии, наличие асимптотики и т. д. [21].