1.6. Метод простых итераций

От исходного уравнения (1.1) перейдем к эквивалентному уравнению

Пусть известно начальное приближение к корню тогда подставим его в первую часть уравнения (1.24) и получим новое приближение затем аналогичным образом получим и так далее,

Необходимо установить, при каких условиях итерационный процесс (1.25) будет сходиться к корню уравнения х.

Рис. 1.11. (см. скан) Метод простых итераций: а - односторонний сходящийся процесс; б - односторонний расходящийся процесс; в - двухсторонний сходящийся процесс; г - двухсторонний расходящийся процесс

Рассмотрим процесс графически (рис. 1.11). Из графиков видно, что при и при возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной Чем меньше вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Установим теперь критерий сходимости математически. Будем считать, что в итерационной формуле (1.25)

где отклонения к и к приближения от корня. Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня х, то функцию можно приближенно представить двумя членами ряда Тейлора Тогда итерационная формула (1.25) примет вид

но так как х является корнем уравнения, то следовательно,

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо выполнить условие

или

Переход от уравнения (1.1) к уравнению (1.24) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции При таком переходе необходимо построить функцию так, чтобы выполнялось условие сходимости (1.26). Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (1.1) к уравнению (1.24). Умножим левую и правую части уравнения (1.1) на произвольную константу и добавим к обеим частям неизвестное х. При этом корни исходного уравнения не изменятся

Введем обозначение

и перейдем от соотношения (1.27) к уравнению (1.24).

Произвольный выбор константы позволит обеспечить выполнение условия сходимости (1.26). Желательно выбрать величину такой, чтобы

тогда сходимость итерационного процесса будет двухсторонней (рис. В этом случае в наиболее простом виде можно представить критерий окончания итерационного процесса

где заданная абсолютная погрешность вычисления корня.

Если функция выбрана в виде (1.28), то производная по х от этой функции будет

Наибольшую скорость сходимости получим при тогда

и итерационная формула (1.25) переходит в формулу Ньютона

Таким образом, метод Ньютона имеет самую высокую скорость сходимости из всех итерационных процессов.

Рис. 1.12. Блок-схема программы решения уравнения методом простых итераций

Программу метода простых итераций реализуем из трех блоков С помощью метода простых итераций решим уравнение

где интеграл вероятности, для вычисления которого применим ряд [36]

В блоке 0 (программы осуществляем в диалоговом режиме задание величины В, начального приближения к корню X,

погрешности и максимального числа итераций Затем определяем параметр задачи значение правой части уравнения (1.30), обращаемся к подпрограмме метода и выводим результат на дисплей.

В блоке 1 выполняется итерационный цикл по переменной I, пока не будет истинным условие (1.29). Если за № итераций не будет найден корень с заданной погрешностью, то на дисплей выдается соответствующее сообщение.

В блоке 2 вычисляем интеграл вероятности по алгоритму, полученному из формулы (1.31)

Для контроля программ задаем в результате получим

(см. скан)

(см. скан)