5.2. Методы прямоугольников

Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию на интервале интегрирования заменяем полиномом нулевой степени, т.е. константой. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке в интервале интегрирования. Приближенное значение интеграла определится как площадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая - аппроксимирующая константа. Отсюда происходит и название методов. Как будет показано ниже, из методов прямоугольников наименьшую погрешность имеет метод средних прямоугольников, когда константу берем равной значению в средней точке интервала интегрирования (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Метод средних прямоугольников

Рис. 5.3. Метод левых прямоугольников

Методы левых (рис. 5.3) и правых прямоугольников (рис. 5.4), заменяющих интеграл нижней и верхней суммами Дарбу, имеют сравнительно высокую погрешность.

Запишем выражение для интеграла на интервале полученное методом средних прямоугольников,

где и оценим погрешность Для этого разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около средней точки х

в малой окрестности точки х этот ряд с высокой точностью представляет функцию при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под интеграл вместо функции ее тейлоровское разложение (5.4) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью

При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все интегралы от членов ряда (5.4), содержащих нечетные степени обращаются в нуль.

Рис. 5.4. Метод правых прямоугольников

Сравнивая соотношения (5.3) и (5.5), можно записать выражение для погрешности При малой величине шага интегрирования основной вклад в погрешность будет вносить первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности вычисления интеграла на интервале

Главный член полной погрешности для интеграла на всем интервале определится путем суммирования погрешностей на каждом частичном интервале

К последнему интегралу мы перешли, используя метод средних прямоугольников для функции

Формула (5.7) представляет собой теоретическую оценку погрешности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, эта оценка является априорной, так как не требует знания значения вычисляемого интеграла. Оценка (5.7) не удобна для практического вычисления погрешности, но полезна для установления структуры главного члена погрешности. Степень шага которой пропорциональна величина называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Аналогично проведем априорную оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около точки

Интегрируя разложение (5.8) почленно на интервале получим

где первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников, второе слагаемое является главным членом погрешности

На интервале главный член погрешности интегрирования получим суммированием частичных погрешностей (5.9)

Таким образом, метод левых прямоугольников имеет первый порядок; кроме того, погрешность будет больше по сравнению с методом средних и за счет интеграла от производной и коэффициента в знаменателе (5.10). Обычно для большинства функций выполняется неравенство

Однако если подынтегральная функция определяется из эксперимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоугольников применить нельзя из-за отсутствия значений в средних точках В этом случае для интегрирования используются другие методы Ньютона-Котеса.

Рис. 5.5. Блок-схема программы численного интегрирования

Программу вычисления определенных интегралов любым методом составляем в соответствии с блок-схемой рис. 5.5. В качестве примера рассмотрим интеграл Бесселя

определяющий функции Бесселя первого рода порядка от аргумента

В программе в диалоговом режиме (строка 10) задаем значения переменных: число разбиений интервала интегрирования; порядок функции Бесселя; границы и шаг изменения аргумента Пределы интегрирования и множитель перед интегралом (5.11) задаем в строке 20 операциями присваивания. В цикле по переменной (строки 30-50) обращаемся к подпрограмме метода численного интегрирования и печатаем таблицу результатов. В подпрограмме метода средних прямоугольников в строке 100 вычисляется шаг интегрирования , значение аргумента X полагается равным среднему на первом интервале интегрирования и инициализируется сумма В цикле по переменной I (строки 110-130) накапливается сумма значений подынтегральной функции в средних

точках каждого частичного интервала. Так как шаг не изменяется в процессе интегрирования, то на шаг умножается вся накопленная сумма вне цикла (строка 140); такой прием сокращает время вычисления интеграла.

Подынтегральная функция (5.11) вычисляется в подпрогоамме, расположенной в строках 200-290.

В программе метод средних прямоугольников оформлен в виде подпрограммы имеющей входные параметры: пределы интегрирования; число разбиений интервала интегрирования; имя подпрограммы для вычисления подынтегральной функции и выходной параметр; приближенное значение интеграла. Введение имени в число формальных параметров позволяет составлять программы, включающие вычисление интегралов от нескольких различных функций. В вызывающей программе имена подпрограмм всех подынтегральных функций должны быть включены в оператор EXTERNAL Порядок и аргумент функции Бесселя передаются в подпрограмму-функцию через неименованный COMMON-блок.

В программе 5.1 параметры функции Бесселя передаются в подпрограмму как глобальные из основного блока Подпрограмма метода средних прямоугольников оформлена в виде процедуры не имеющей глобальных параметров, формальные параметры имеют тот же смысл, что и в программе

По программам 5.1 при и 1 получены результаты, совпадающие с точностью до 6 значащих цифр с табличными значениями функций Бесселя для аргументов в интервале [0, 5]. Так, например, получено , в то время как в таблицах [50] . При увеличении аргумента и порядка будет при фиксированном числе разбиений нарастать погрешность вычисления интеграла Бесселя (5.11) за счет усложнения подынтегральной функции и возрастания интегрального множителя в оценке (5.7). Для выбора величины обеспечивающей вычисление интеграла с заданной погрешностью, необходим специальный алгоритм.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)