1.3. Метод хорд

Рассматриваемый метод так же, как и метод дихотомии предназначен для уточнения корня на интервале на концах которого левая часть решаемого уравнения принимает разные знаки. Интервал по-прежнему определяем графическим методом. Очередное приближение теперь в отличие от метода дихотомии берем не в середине отрезка, а в точке где пересекает ось абсцисс прямая линии, проведенная через точки (рис. 1.5).

Рис. 1.1. Метод хорд

В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбираем тот из двух или на концах которого функция принимает значения с разными знаками.

Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной погрешности

или когда значения функции попадут в область шума, т.е.

Уравнение прямой линии, проходящей через точки запишем в общем виде

Коэффициенты уравнения этой прямой определим из условий

Вычитал левые и правые части последних соотношений, получим 1

Точку пересечения прямой с осью абсцисс получим, приравнивая нулю,

или

Блок-схема программы решения уравнений методом хорд такая же, как и для метода дихотомии (рис. 1.4).

В предлагаемых ниже программах для конкретности применим метод хорд к решению уравнения

где специальную -функцию вычислим с помощью асимптотического разложения Стирлинга [36]

Погрешность разложения (1.10) определяется абсолютной величиной последнего члена ряда При фиксированном количестве членов погрешность будет тем меньше, чем больше модуль аргумента х. Так, при и использовании всех слагаемых формулы (1.10) абсолютная погрешность будет

меньше что вполне достаточно при расчетах с четырехбайтовыми вещественными переменными.

При можно изменить аргумент х на целое число чтобы стало больше 10. Требуемое значение -функции при этом можно определить, воспользовавшись рекуррентной формулой [36]

Следует учитывать, что при этом за счет вычисления суммы в формуле (1.11) возникает дополнительная погрешность.

Решить уравнение (1.9) означает найти такой аргумент х, при котором -функция принимает заданное значение В качестве второго параметра уравнения (1.9) выбираем полуширину полосы шума.

Основной блок 0 реализован в программах 1.3 аналогично соответствующим блокам программ 1.2. Отличие заключается только в изменении оператора обращения к подпрограмме метода.

В строках 100-120 программы осуществляется вычисление левой части уравнения на концах интервала и определение знака Здесь переменная введена для запоминания предыдущего приближения к корню, эта переменная инициализируется вне итерационного цикла для того, чтобы оператор условия в строке 130 был определен до первого его исполнения. В строке 140 размещены операторы для запоминания предыдущего значения приближения к корню, вычисления очередного приближения по формуле (1.7), обращения к подпрограмме вычисления левой части уравнения (1.9). Проверка условия попадания функции а полосу шума находится в строке 150. В строках 160-170 осуществляется выбор интервала для последующего уточнения корня. В подпрограмме вычисления левой части уравнения в строке 200 осуществляется изменение аргумента -функции на целое число так, чтобы новый аргумент был больше 10. Затем по формуле (1.10) (строка 210) вычисляем -функцию от нового аргумента. Здесь используется схема Горнера [1]. И по рекуррентному соотношению (1.11) переходим к значению -функции от аргумента х (строка 220). И, наконец, вычисляем левую часть уравнения (1.9) (строка 230).

На языках Фортран и Паскаль (программы метод хорд реализован по аналогии с программами

При работе на ЭВМ предлагается провести решение одного уравнения методами дихотомии и хорд при одинаковой точности и сравнить количество итераций. Для этого в программы следует добавить счетчик итераций и вывод на дисплей текущих значений аргумента х и функции при каждом ее вычислении. В большинстве случаев при решении уравнений методом хорд требуется меньшее количество итераций по сравнению с методом дихотомии. Так, для уравнения (1.9) на отрезке [1, 2] с погрешностью корень при параметрах находится методом хорд после 11 вычислений левой части уравнений. Метод дихотомии требует для этого примера вдвое большего количества итераций.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)