7.3. Граничные задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть задана система обыкновенных дифференциальных уравнений

В правые части системы уравнений (7.24) в отличие от прежних задач входят дополнительно неизвестных величин которые называются собственными значениями. Каждому набору собственных значений будет соответствовать набор собственных функций если систему уравнений (7.24) дополнить граничными условиями.

В задачах теории колебаний, электродинамики и распространения радиоволн собственные функции обычно связаны с напряженностями электрического и магнитного полей, зависящими от времени и координат, а собственные значения являются интегральными характеристиками систем, такими, как собственные частоты, постоянные распространения и т.п. В зависимости от постановки задачи собственные значения могут существовать или не существовать быть вещественными или комплексными с дискретным или сплошным спектром спектром в виде полос [1].

Перед решением задачи на собственные значения необходимо исследовать корректность ее постановки, что часто является предметом конкретной области науки.

Наиболее употребительными численными методами решения задач на собственные значения являются метод стрельбы и метод конечных разностей [1]. Применение этих методов проиллюстрируем на примере задачи о

распространении электромагнитных волн в коаксиальном волноводе.

Рассмотрим бесконечный в продольном направлении коаксиальный волновод с внутренним проводником радиуса а и внешней оболочкой радиуса между которыми находится однородная изотропная среда с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями Необходимо найти распределение амплитуд напряженностей электромагнитного поля в поперечном сечении волновода, а также определить постоянные распространения различных типов волн.

I юставленная задача имеет аналитическое решение, в котором искомые электрические и магнитные поля представляются через комбинации цилиндрических функций, а постоянные распространения находятся из решения трансцендентного уравнения [61]. Однако использование численных методов позволяет обобщить и развить алгоритмы для более сложных задач на основе структуры рис. 7.4. Так, например, при моделировании волновых процессов в сверхвысокочастотном и оптическом диапазонах актуальной является задача о волноводах с радиально неоднородным заполнением [62]. Неоднородность учитывается введением координатно-зависимых проницаемостей Подобные зависимости могут быть непрерывными (градиентные волноводы), дискретными, (слоистые волноводы) или дискретно-непрерывными (слоисто-градиентные волноводы).

Рис. 7.4. Поперечное сечение коаксиального волновода

Напряженности электрического и магнитного полей в волноводе удовлетворяют системе уравнений Максвелла [61]. На стенках волновода должны выполняться граничные условия, которые в случае волновода с идеально проводящими стенками будут иметь вид

где продольная и азимутальная проекции электрического поля на оси цилиндрической системы координат, являющиеся касательными составляющими к стенкам волновода.

Уравнения Максвелла в проекциях на оси цилиндрической системы координат представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. В отдельных случаях удается упростить эти уравнения и перейти от них к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исключения частных производных по времени будем рассматривать гармонические электромагнитные процессы с временной зависимостью вида Регулярность волновода позволяет рассматривать волновой

процесс вдоль оси волновода, и координата войдет в уравнения в форме таким способом исключаются частные производные по переменной Учет симметричности волновода позволяет установить, что зависимость электрического и магнитного полей от азимутальной координаты определяется множителем где что снимает дифференцирование по Таким образом, от системы уравнения в частных производных переходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которые входят производные толко по координате

Если проницаемости не зависят от координат, то система уравнений Максвелла распадается на две независимые системы, одна из которых описывает волны типа другая - Простыми преобразованиями от каждой из указанных систем уравнений можно перейти к волновым уравнениям второго порядка относительно продольных составляющих электромагнитного поля. Так, для продольной составляющей магнитного поля волн типа получим следующее дифференциальное уравнение:

где радиальная координата, нормированная на волновое число свободного пространства - круговая частота; длина волны в вакууме; нормированная на постоянная распространения электромагнитной волны; число вариаций полей волны в азимутальном направлении; штрих обозначает дифференцирование по

Уравнение (7.26) путем замены переменных можно привести к канонической форме уравнения Бесселя. Уравнение (7.26) с граничными условиями (7.25) представляет собой задачу на собственные значения. В качестве собственного значения можно принять любой из параметров уравнения (7.26). При заданных проницаемостях искомым собственным значением будет постоянная распространения При решении задач измерения проницаемостей материалов величина считается заданной, а одна из проницаемостей или принимается за собственное значение. Выбор собственного значения не изменит сущности рассматриваемых ниже алгоритмов, поэтому для конкретности принимаем в качестве искомого собственного значения величину Собственной функцией задачи является продольная составляющая магнитного поля

Теперь установим корректность постановки задачи. Для структуры поля волн типа характерно отсутствие продольной составляющей электрического поля, т.е. в каждой точке. Значит, из четырех граничных условий (7.25) для волн типа мы имеем право использовать только два условия на стенках волновода для азимутальной составляющей электрического поля Однако и эти условия нельзя непосредственно использовать для решения поставленной задачи, так как напряженность не входит в уравнение (7.26). Необходимо от граничных условий (7.25) перейти к условиям относительно продольной составляющей магнитного поля При получении волнового уравнения (7.26) все составляющие электромагнитного поля волн типа из уравнений Максвелла выражаются через

продольную составляющую магнитного поля и ее производные по переменной Так, например, азимутальная составляющая электрического поля определяется по формуле

где А - множитель, не зависящий от составляющих полей. Используя выражение (7.27), от граничных условий (7.25) перейдем к условиям относительно производных справедливым для волн типа

Однако для корректности задачи для дифференциального уравнения второго порядка с одним собственным значением необходимо иметь три граничных условия. Третье условие установим из физического смысла задачи. Так как нам не задан источник возбуждения электромагнитных волн, то собственные функции мы сможем найти с точностью до произвольного амплитудного множителя, определяющего значение продольной составляющей напряженности магнитного поля в точке с фиксированными координатами На этом основании предположим, что

где произвольная константа, которую обычно выбирают из условий нормировки. Условия нормировки устанавливают либо исходя из единичной мощности потока электромагнитной энергии, либо из единичного максимума амплитудного распределения напряженности исследуемой составляющей поля в поперечном сечении волновода.

Таким образом, задача на собственные значения для дифференциального уравнения второго порядка (7.26) с тремя граничными условиями (7.28), (7.29) является корректной.