5.4. Метод трапеций

Подынтегральную функцию заменим на участке полиномом первой степени Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение прямой через значения функции на границах интервала интегрирования (рис. 5.6). В этом случае приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции

Рис. 5.6. Метод трапеций

Априорную погрешность метода трапеций получим путем интегрирования тейлоровского разложения подынтегральной функции около точки

и интеграл

С помощью разложения (5.21) вычислим подынтегральную функцию в точке

откуда

Подставляя произведение (5.23) в выражение (5.22), получим

Следовательно, главный член погрешности метода трапеций на одном интервале будет

Если интегрирование проводится путем разбиения отрезка на несколько интервалов, то общую погрешность получим суммированием частичных погрешностей (5.24)

Получили, на первый взгляд, несколько неожиданный результат, что метод трапеций имеет погрешность в два раза больше по абсолютной величине по сравнению с методом средних прямоугольников, хотя аппроксимация подынтегральной функции проводилась полиномом первой, а не нулевой степени. По-видимому, выбранный вариант аппроксимации подынтегральной функции прямой, проходящей через ее значения на границах, не является оптимальным. Задача выбора способа аппроксимации полиномом заданной степени с наименьшей возможной погрешностью была решена Гауссом, что привело к развитию целого класса методов

Как видно из выражения (5.25), метод трапеций, как и метод средних прямоугольников, имеет второй порядок. Если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка применять метод средних прямоугольников вследствие его меньшей погрешности.

Программы 5.2, иллюстрирующие применение метода трапеций, составлены в соответствии с блок-схемой рис. 5.5. В качестве примера выбран интеграл вероятности [36]

параметром которого является верхний предел интегрирования.

В основном блоке программы в строке 10 определяется подынтегральная функция с помощью оператора затем в диалоговом режиме (строка 20) вводятся значения переменных: количество разбиений интервала интегрирования; границы и шаг изменения аргумента интеграла вероятности. В строке 30 задаются нижний предел А, постоянный множитель С интеграла (5.26) и инициализируется переменная для накопления значений интеграла. В цикле по верхнему пределу интегрирования В (строки 30-70) осуществляется обращение к подпрограмме метода численного интегрирования, накапливается значение интеграла с переменным верхним пределом, изменяется нижний предел А и выводится на дисплей таблица результатов. В подпрограмме метода трапеций (строки 100-190) вне цикла вычисляется шаг интегрирования и полусумма подынтегральной функции на границах интервала интегрирования. В цикле по переменной I накапливается сумма значений подынтегральной функции во всех "внутренних” узлах, так как каждый узел интегрирования, кроме граничных, принадлежит двум трапециям. После цикла в строке 120 накопленная сумма умножается на шаг интегрирования

В программах подпрограммы метода трапеций имеют только формальные и локальные параметры. Входными параметрами являются переменные пределы интегрирования; количество разбиений интервала интегрирования; имя подпрограммы для вычисления подынтегральной функции. Выходным параметром является переменная значение интеграла.

При программы 5.2 дают результат а при Применив первую формулу Рунге, уточним результат и получим табличное значение интеграла вероятности

(см. скан)

(см. скан)