5.8. Методы наивысшей алгебраической точности

Подынтегральную функцию так же, как и а методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Однако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения интерполяционного полинома выберем из условия обеспечения минимальной погрешности интегрирования. Впервые задача построения квадратурных формул подобного типа была решена Гауссом для интегралов вида

а для интегралов

с произвольной весовой функцией Кристоффелем [1].

Для того чтобы узлы квадратурных формул не зависели от пределов интегрирования, линейным преобразованием переменной х осуществляется переход к стандартным пределам интегрирования

где новая переменная.

Тогда интеграл (5.43) принимает вид

Квадратурная формула Гаусса-Кристоффеля для интегралов типа (5.44) при узлах содержит параметров

где весовые коэффициенты; узлы; - погрешность квадратуры. Полином степени также имеет коэффициентов. Следовательно, можно так подобрать параметры чтобы формула (5.47) была точной, т. е. для любого полинома степени не выше

Так, при квадратура (5.47) будет точной для полиномов нулевой и первой степени. Этому требованию удовлетворяет метод средних прямоугольников, который и является простейшим из методов Гаусса-Кристоффеля

для весовой функции

В случае двух узловых точек квадратура будет точной для полиномов не выше третьей степени Пусть подынтегральная функция интеграла (5.46) представима полиномом с коэффициентами

тогда интеграл от полинома принимает значение 1

Рис. 5.8. Метод Гаусса при

Интерполяционный полином Ньютона, совпадающий в узлах со значениями подынтегральной функции будет иметь первую степень (рис. 5.8).

где

Возьмем интеграл от полинома (5.50) и подставим в результат значения функции (5.48) в узлах

Сравнивая правые части выражений (5.49) и (5.51), получим систему двух уравнений относительно узлов и

откуда получим

При таких узлах формула (5.47) с учетом соотношения (5.51) принимает вид

где

Узлы и являются корнями полиномов Лежандра второй степени. Весовые коэффициенты равны единице.

С увеличением числа узлов их значениями остаются корни полиномов Лежандра степени а весовые коэффициенты определяются через узлы формуле [1]

Обычно в вычислительной практике вековые коэффициенты и узлы задаются в виде констант из справочных таблиц. Обширные таблицы для различных весовых функций имеются в справочнике [36].

Верхняя граница погрешности квадратурной формулы Гаусса оценивается выражением [1]

которое позволяет сделать вывод об эффективности метода для интегрирования функций высокой гладкости.

В программах 5.6 реализован метод Гаусса с двумя узлами (5.52), на каждом частичном интервале интеграл вычисляется по формуле (5.53).

В основном блоке каждой из программ 5.6 в диалоговом режиме задаются значения переменных: число разбиений интервала интегрирования; пределы интегрирования. После обращения к подпрограмме метода Гаусса на дисплей выводится значение интеграла

При накоплении интегральной суммы учтено симметричное расположение узлов квадратурной формулы. Переменная С задается вне цикла равной расстоянию между узлами на одном частичном интервале

Переменная равна расстоянию между узлами в соседних интервалах.

Практическая оценка погрешности интегрирования осуществляется по формуле Рунге. В случае двух узлов на основании оценки (5.54) метод Гаусса имеет четвертый порядок.

В программах 5.7 реализован метод Гаусса с шестью узлами по квадратурной формуле (5.47). Узлы и весовые коэффициенты задаются в основном блоке и передаются как параметры в подпрограмму интегрирования. Подпрограммы в программах составлены для произвольного числа узлов К, которое является формальным параметром подпрограмм. Другие формальные параметры обозначают. число интервалов разбиения интервала интегрирования; пределы интегрирования; массивы узлов и весов квадратурной формулы; имя подпрограммы для подынтегральной функции; значение интеграла

Переменным определяемым вне цикла по переменной для накопления интегральной суммы, присваиваются значения коэффициентов линейного преобразования (5.45) аргумента подынтегральной функции.

Вычисления по программам 5.7 интеграла при 8 разбиениях дают погрешность менее Для того чтобы обеспечить такую погрешность методом Симпсона, необходимо задать не менее 200 узлов.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)