5.3. Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену

Априорные оценки погрешностей (5.7) и (5.10) можно записать в виде

где А - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подынтегральной функции; шаг интегрирования; порядок метода Зависимости (5.12) подчиняется главный член погрешности большинства методов численного интегрирования. При численном дифференцировании погрешность также может быть оценена с помощью формулы (5.12), при этом порядок зависит от количества узловых точек.

Пусть вычисляется значение некоторой переменной с шагом тогда

где приближенное значение главный член погрешности; бесконечно малая величина порядка

Вычислим ту же самую переменную с шагом

где коэффициент пропорциональности к может быть как больше, так и меньше единицы. Коэффицент А в выражениях (5.13) и (5.14) будет одинаковым, так как вычисляется одна и та же переменная, одним и тем же методом, а от величины шага значение А не зависит.

Пренебрегая бесконечно малыми величинами, приравняем правые части соотношений (5.13) и (5.14) с учетом формулы (5.12) и получим

откуда найдем главный член погрешности

Формула (5.15) называется первой формулой Рунге [1] и позволяет

путем двойного просчета величины с шагами оценить погрешность. Так как оценка осуществляется после вычисления, то она является апостериорной. Формула (5.15) имеет большое практическое значение, так как позволяет провести оценку погрешности без изменения алгоритма используемого вычислительного процесса. При уменьшении шага главный член погрешности будет стремиться к полной погрешности

После определения можно вычислить уточненное значение искомой величины

последнее соотношение называют второй формулой Рунге. К сожалению, погрешность уточненного значения остается неопределенной, хотя, как правило, она меньше значения

Формулы Рунге справедливы для всех вычислительных процессов, для которых выполняется степенной закон (5.12). Для определения порядка метода необходимо проведение априорной оценки погрешности, что не всегда легко осуществить.

Английский математик Эйткен предложил способ оценки погрешности для случая, когда порядок метода неизвестен. Более того, алгоритм Эйткена позволяет опытным путем определить и порядок метода. Для этого необходимо третий раз вычислить значение величины с шагом т.е.

или

Приравнивая правые части выражений (5.14) и (5.17), получим соотношение

подставляя в которое значение из первой формулы Рунге (5.15), найдем

Полученное соотношение (5.18) совместно с первой формулой Рунге (5.15) позволяет оценить погрешность при использовании вычислительного метода с неизвестным порядком Более того, порядок можно определить, логарифмируя левую и правую части формулы (5.18),

Для выбранного вычислительного процесса алгоритм Эйткена достаточно применить только один раз определения порядка метода, а затем использовать формулу Рунге, требующую только двукратного вычисления искомой величины. Формулу можно использовать для тестирования программ, реализующих вычислительные методы с известной априорной погрешностью. Априорный и апостериорный порядки должны получаться совпадающими для правильных программ. Конечно, это совпадение будет приближенным, так как при получении алгоритмов Рунге и Эйткена учитывались только главные члены погрешности.