2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ РАБОЧЕГО ЗАТУХАНИЯ

Для построения фильтра необходимо знать математическое описание его АЧХ, например, функцией После этого следует попытаться теоретически получить эту функцию, соединяя между собой определенным образом элементы фильтра (отрезки линий, емкости, индуктивности, сопротивления). Функцию можно вычислить, зная структуру фильтра.

Теоретически возможен машинный синтез фильтра путем многократного анализа с корректировкой параметров элементов после каждого счета. При этом можно АЧХ не задавать непрерывной функцией а задать в виде дискретных величин (таблично). Однако этот метод слишком громоздок и его можно применять лишб в исключительных случаях. Практически во всех случаях расчета (синтеза) фильтров следует задаваться аппроксимацией функции его коэффициента рабочего затухания При этом следует учесть, что не все функции пригодны для этого, а только удовлетворяющие условиям физической реализуемости, т. е. для получения которых можно создать реальный фильтр.

Известны несколько функций, аппроксимирующих АЧХ фильтров НЧ без учета диссипативных потерь. При аппроксимации максимально плоской характеристикой (характеристика Баттерворса) затухание монотонно растет при отклонении частоты от средней [72]:

где — параметр, который равен числу реактивных элементов в фильтре-прототипе

Чебышевская характеристика затухания описывается следующими математическими выражениями:

где — коэффициент пульсаций.

Сравним различные аппроксимации [43]. Характеристика по Баттерворсу — максимально плоская в районе средней частоты и везде монотонна; характеристика по Чебышеву — равноволновая в полосе пропускания. Характеристика по Баттерворсу определяется одним параметром по Чебышеву — двумя На скатах фильтра затухание в характеристике по Чебышеву растет большинстве случаев быстрее на дБ по сравнению с характеристикой по Баттерворсу. Поэтому чебышевский фильтр имеет меньшее число

элементов при одинаковых полосах пропускания и крутизне. ФЧХ чебышевского фильтра менее линейна, чем максимально плоского. Для аппроксимации применяют полиномы Чебышева первого и второго родов, а также ультрасферические полиномы (Гегенбауэра), полиномы Лежандра, Лагерра, Эрмита. Возможна также аппроксимация эллиптическими функциями с помощью отрезков прямых линий, потенциальной аналогии и др.

До сих пор рассматривали АЧХ фильтра нижних частот (ФНЧ). Чтобы перейти к характеристикам других фильтров, следует применить преобразование независимой частотной переменной, т. е. требуется перейти от частотной переменной ФНЧ , к частотной переменной других фильтров , где Для фильтра верхних частот Для ППФ

Для ПЭФ

Аппроксимация АЧХ фильтров с учетом диссипативных потерь рассмотрена в работе [25].