ГЛАВА I. КРИВАЯ, РОЖДЕННАЯ КОЛЕСОМ

«Ехали медведи На велосипеде...»

К. Чуковский.

Разговор двух велосипедистов

Мои друзья — девятиклассник Вася и студент-физик Сергей — большие любители велосипедного спорта. Вот какой разговор произошел у них однажды по возвращении с прогулки.

Сергей. Как ты думаешь, Вася, может ли велосипед обдать велосипедиста грязью, которая налипла на заднее колесо машины и отскакивает от него?

Вася. Еще бы! Когда на грязной дороге случается замедлить ход, брызги всегда попадают в спину.

Сергей. А почему это так? Думал ли ты об этом? Как, по-твоему, должен двигаться комочек грязи, отделившийся от обода колеса? По какому направлению?

В а с я. Дай вспомнить. Нет, не помню...

Сергей. Ну так я тебе напомню. Если какая-нибудь частица принуждена двигаться по кривой и неожиданно получает свободу движения, она, по инерции, будет двигаться в направлении касательной к траектории движения, сохраняя величину и направление скорости, которую имела в момент «освобождения». Ясно?

Вася. Не совсем. Я забыл, что такое траектория.

Сергей. Так называют кривую, по которой движется частица.

Вася. Да, верно! Теперь все ясно.

Сергей. Попробуй применить этот закон к нашему случаю.

Вася. Зачем?

Сергей. Ты получишь неожиданный результат.

Вася. Ладно. (Подумав.) Путь комочка грязи будет иметь такой вид (тут Вася начертил рисунок, вроде нашего рис. 1, только велосипед у него получился гораздо хуже, чем нарисованный здесь). Значит, комочек, отделившись, например, в точке Л, будет двигаться в направлении касательной к ободу колеса и опишет вот эту кривую линию (показывает).

Рис. 1. Верно ли?

По такому же пути полетит камень, если его бросить наклонно.

Сергей. Эта кривая называется параболой.

Вася (продолжая). Даже комочек, прилипший к колесу сильнее и поднявшийся до положения В (рис. 1), не догонит велосипедиста: он будет двигаться вертикально. А выше комок грязи не подымется. Ему помешает щиток.

Сергей. Что же будет, если велосипедист замедлит ход?

Вася. Велосипедист может даже совсем остановиться — все равно грязь на него не попадет... Что за чепуха получилась! Ведь грязь-то еще как здорово попадает на спину!

Сергей. Я говорил, что получится неожиданный результат!

Вася. В чем дело? Не понимаю...

Сергей. Все дело в том, что ты неправильно рассуждаешь. Давай, рассмотрим внимательнее движение велосипедного колеса.

Пусть это колесо катится направо. (Сергей нарисовал колесо, изображенное на рис. 2 слева, и отложил от центра вправо стрелку v.) Будем считать, что скорость велосипедиста а радиус колеса Полный оборот колесо сделает тогда, когда его центр продвинется вперед на длину всей окружности колеса, т. е. на расстояние, разное (рис. 2).

Рис. 2. Сложное движение велосипедного колеса.

Обозначим время полного оборота через Тогда получим:

за секунд центр колеса пройдет метров,

за 1 секунду

Следовательно:

Итак, один оборот колесо делает за секунд;

сколько же оборотов оно сделает в секунду?

Вася. Дай, я сам подсчитаю. Пусть у — число оборотов колеса в секунду. Теперь нужно составить пропорцию. Рассуждаем так:

Получается пропорция

Так?

Сергей. Так!

Вася. Значит, оборотов в секунду!

Сергей. Правильно! Мы видим, что колесо велосипеда совершает сложное движение: оно движется поступательно с постоянною скоростью и при этом равномерно вращается, делая оборотов в секунду.

Ну-ка, вспомни, как найти скорость точки, принимающей участие в двух движениях?

Вася. Это я знаю! Нужно скорости обоих движений сложить по правилу параллелограмма.

Сергей. Верно! Рассмотрим теперь какую-нибудь точку А на ободе колеса в какой-то момент движения. (Рис. 3.) Эта точка принимает участие, во-первых, в посту» пательном движении, — значит, она имеет горизонтальную скорость Но эта же точка участвует и во вращательном движении и имеет в нем сбою, вторую скорость. Как ее подсчитать?

Вася. Сейчас подсчитаю. В одну секунду колесо делает оборотов. При каждом обороте точка А на ободе проходит путь, равный длине обода, т. е. метров.

Значит, за одну секунду, когда колесо сделает оборотов, точка А пройдет метров. Выходит, что эта вторая скорость будет тоже

Рис. 4. Путь комка грязи, отскочившего от колеса.

Сергей. Именно так. Скорость точки обода при вращении колеса тоже равна но скорость поступательного движения направлена по горизонтали, тогда как эта вторая скорость — по касательной к ободу.

Рис. 3. Сложение скоростей поступательного и вращательного движений.

Итоговая скорость будет направлена по диагонали параллелограмма с равными сторонами (т. е. по диагонали ромба), как это и видно на рисунке (рис. 3, стрелка АВ). Ясно?

Вася. Да.

Сергей. Теперь, Вася, обрати внимание на комочек грязи, достигший положения С (рис. 4). Его скорость будет составлена из горизонтальной скорость, разной v, и вертикальной скорости, разной тоже v. Итоговая скорость будет равна (но теореме Пифагора), а направлена она будет под углом 45° к горизонту.

Комочек грязи будет двигаться, как камень, брошенный под углом в 45° к горизонту (по параболе, изображенной штриховой линией на рис. 4). По инерции он и дальше сохранит горизонтальную составляющую скорости, равную V. Догонит ли он велосипедиста?

Вася. Нет.

Сергей. А если велосипедист замедлит ход?

Вася. Тогда грязь шлепнется ему на спину!

Сергей. Так на деле и бьтает?

Вася. Да. Третьего дня я вернулся с велосипедной прогулки весь в грязи.

Сергей. Значит, все ясно?

Вася (подумав). Ну, нет! По-моему, теперь все окончательно запуталось! Ведь на рисунке (рис. 4) видно, что скорость направлена не по касательной к ободу колеса, а как-то наискось. Начали же мы разговор с того, что скорость комочка грязи должна быть направлена по касательной к траектории движения. Ты сам сказал об этом.

Сергей. К траектории движения чего?

Вася. Соответствующей частицы обода, конечно!

Сергей. Совершенно верно! Она по касательной к этой траектории и направлена.

Вася. Не понимаю. По-моему рисунки (3 и 4) этому противоречат.

Сергей. Нисколько. Подумай.

Подумаем и мы вместе с Сергеем и Васей, на чем основано это кажущееся противоречие. Подумаем, какую траекторию (какую кривую) описывает каждая частица обода велосипедного колеса при движении велосипеда.

Центр велосипедного колеса равномерно движется по прямой линии. Само колесо равномерно вращается. Какую кривую описывает при этом каждая точка обода колеса? Если бы ценгр был неподвижен, то все точки колеса описывали бы окружности. Но центр движется, и соответствующие окружности «размазываются», «вытягиваются». Говоря геометрическим языком, — выясним, какую кривую описывает каждая точка окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Частица грязи будет двигаться по касательной не к ободу колеса, а по касательной к зтой именно кривой. Эта-то кривая и называется циклоидой.