Площадь циклоиды. Теорема Галилея

Теперь мы достаточно подготовлены к тому, чтобы вычислить площадь, заключенную между аркой циклоиды и ее основанием. Первое упоминание о вычислении такой площади имеется в трудах Вивиани и Торичелли.

Рис. 28. Двухлепестковая фигура Роберваля.

Они связывают это вычисление с именем Галилея — своего учителя; поэтому теорему о площади циклоиды часто называют теоремой Галилея.

И Торичелли, и Вивиани при вычислениях площадей, ограниченных кривыми линиями, пользовались особым приемом, который назывался «способом неделимых». Этот способ состоял в том, что криволинейную фигуру разбивали на бесконечно тонкие полоски («неделимые»), площади которых вычислялись сравнительно легко, а затем складывались. Этот прием через полвека привел к изобретению интегрального исчисления.

Мы не будем следовать пути Торичелли и Внвпани, а изложим иной способ вычисления плошади — способ Роберваля (несколько уточнив его).

Рассмотрим фигуру, ограниченную аркой циклоиды и ее спутницей. На рис. 28 эта фигура, состоящая из двух лепестков, обведена жирной линией. Займемся вычислением ее площади.

Прежде всего, построим зеркальное отражение правого лепестка фигуры относительно направляющей прямой А В (это отражение дано на рис. 28 штриховой линией). Перенесем затем эту штриховую кривую налево вверх и приложим ее к левому лепестку так, чтобы дуги синусоид, входящие в контур каждого из лепестков, совпали.

Рис. 29. Бо что превращается двухлепестковая фигура.

Получим выпуклую фигуру, заштрихованную на рис. 28 и изображенную отдельно на рис. 29. Установим важнейшие свойства этой фигуры.

1. Выпуклая фигура равновелика двухлепестковой фигуре, изображенной жирной линией на рис. 28. Это видно из того, что она «составлена» из тех же лепестков.

2. Любая горизонтальная хорда выпуклой фигуры равна удвоенной хорде лепестка, находящейся на том же расстоянии от АВ. Действительно, хорды СЕ и PH (рис. 28) правого лепестка, равноудаленные от линии центров, равны, так как равные им полухорды производящего круга одинаково удалены от центра (вспомним, что отрезок между соответствующими точками циклоиды и ее спутницы равен полухорде производящего круга, см. стр. 29). Значит, .

Это дает важный результат: хорда МР выпуклой фигуры (рис. 29) равна хорде производящего круга ОК, расположенной на том же расстоянии от направляющей прямой.

Рассмотрим теперь выпуклую фигуру Роберваля и круг, касающийся тех же прямых АВ и (рис. 30). Проведем ряд прямых, параллельных АВ и и точки их пересечения с окружностью и с контуром выпуклой фигуры соединим последовательно прямолинейными отрезками, как показано на нашем чертеже. Полученные таким образом вписанные многоугольники мы будем называть «соответственными».

Рис. 30. Многоугольники, вписанные в круг и в выпуклую фигуру Роберваля.

Прямые, параллельные АВ, разбивают «соответственные многоугольники на ряд трапеций (и треугольников). Площади «соответственных» трапеций в круге и в фигуре Роберваля, например равны, потому что у трапеций этих соответственно равны нижние основания, верхние основания (соответственные хорды) и высоты. На рис. 30 равновеликие «соответственные» трапеции покрыты одинаковой штриховкой.

Будем теперь неограниченно увеличивать число «промежуточных» прямых, параллельных АВ, так чтобы расстояние между любой соседней парой стремилось к нулю. Тогда в круге мы получим серию вписанных многоугольников, число сторон которых неограниченно возрастает, а каждая из сторон стремится к нулю.

Мы знаем, что площади этих многоугольников имеют пределом площадь круга:

Как будет себя вести при этом последовательность многоугольников, вписанных в выпуклую фигуру Роберваля? Площадь последовательных вписанных многоугольников будет стремиться к площади X фигуры Роберваля. Известно, что если две переменные величины сохраняют при всех своих изменениях соответственно равные значения и одна из них стремится к определенному пределу, то к тому же пределу стремится и другая. Но каждый многоугольник, вписанный в фигуру Роберваля, равновелик «соответственному» многоугольнику, вписанному в круг. Поэтому мы заключаем, что предел площадей многоугольников, вписанных в фигуру Роберваля, равен пределу площадей соответственных многоугольников, вписанных в круг; а это значит, что площадь выпуклой фигуры Роберваля равна площади производящего круга:

Отсюда получаем немедленное следствие: площадь двухлепестковой фигуры (рис. 28) равна площади производящего круга.

Взглянем теперь на рис. 27. Площадь фигуры АОТРВКА, как мы видели, равна удвоенной площади производящего круга (площадь между спутницей одной арки циклоиды и ее основанием, см. стр. 31). Площадь двухлепестковой фигуры мы только что определили: она равна площади производящего круга. Следовательно, площадь, ограниченная аркой циклоиды и ее основанием, равна утроенной площади производящего круга. Этот результат и известен под названием «теоремы Галилея».